e^z=z

[Ktina]

Уравнение $e^z=z$ вещественных решений, очевидно, не имеет.
Как это уравнение решается в комплексных числах?
Подскажите, пожалуйста, идею.

[Shtorm]

Возможно поможет функция Ламберта. Там ниже смотрите раздел "Решение уравнений с помощью функции Ламберта"

[apriv]

Ktina в сообщении #594903 писал(а):

Уравнение $e^z=z$ вещественных решений, очевидно, не имеет.
Как это уравнение решается в комплексных числах?
Подскажите, пожалуйста, идею.

Что значит «как решается»? Ну, есть у него решения в комплексных числах, что Вам от них нужно?

[Ktina]

Shtorm в сообщении #594908 писал(а):

Возможно поможет функция Ламберта. Там ниже смотрите раздел "Решение уравнений с помощью функции Ламберта"

Спасибо!
А реально ли найти хотя бы одно решение этого уравнения школьными методами (скажем, через трифуны какие-нибудь)?

-- 13.07.2012, 14:21 --

apriv в сообщении #594910 писал(а):

Ktina в сообщении #594903 писал(а):

Уравнение $e^z=z$ вещественных решений, очевидно, не имеет.
Как это уравнение решается в комплексных числах?
Подскажите, пожалуйста, идею.

Что значит «как решается»? Ну, есть у него решения в комплексных числах, что Вам от них нужно?

Как эти решения найти?

[apriv]

Ktina в сообщении #594911 писал(а):

Как эти решения найти?

Что значит найти? Обычными численными методами можно найти приближение к решению, как и у любого другого разумного уравнения. Вот, например, одно из решений: $z=0.318132\ldots-i\cdot 1.33724\ldots$.

[Ktina]

apriv в сообщении #594913 писал(а):

Ktina в сообщении #594911 писал(а):

Как эти решения найти?

Что значит найти? Обычными численными методами можно найти приближение к решению, как и у любого другого разумного уравнения. Вот, например, одно из решений: $z=0.318132\ldots-i\cdot 1.33724\ldots$.

Можно ли найти хотя бы одно точное (не с помощью численных методов) решение через трифуны, используя $e^{i\pi}=-1$?

[apriv]

Ktina в сообщении #594921 писал(а):

Можно ли найти хотя бы одно точное (не с помощью численных методов) решение через трифуны, используя $e^{i\pi}=-1$?

Я не знаю, кто такие трифуны, но не думаю, что решение выражается через так называемые «элементарные функции».

[AKM]

А Вы уже расписали $e^{x+iy}=x+iy$, левую часть раскрыли? Приравняли действительную и мнимую части равенства? Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными? Там, кажется, даже $y$ легко исключается.
Это должно ясности прибавить.

[Ktina]

apriv в сообщении #594925 писал(а):

Ktina в сообщении #594921 писал(а):

Можно ли найти хотя бы одно точное (не с помощью численных методов) решение через трифуны, используя $e^{i\pi}=-1$?

Я не знаю, кто такие трифуны, но не думаю, что решение выражается через так называемые «элементарные функции».

Трифуны - это тригонометрические функции.

-- 13.07.2012, 15:12 --

AKM в сообщении #594928 писал(а):

А Вы уже расписали $e^{x+iy}=x+iy$, левую часть раскрыли? Приравняли действительную и мнимую части равенства? Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными? Там, кажется, даже $y$ легко исключается.
Это должно ясности прибавить.

О! По-моему, это - то самое. Спасибо! Сейчас буду считать.

[AKM]

Ktina в сообщении #594930 писал(а):

О! По-моему, это - то самое.

Особо губу не раскатывайте...

[Профессор Снэйп]

Для начала можно модули приравнять: $e^{2x} = x^2 + y^2$. Получаем, что $y$ через $x$ выражается

[Ktina]

AKM в сообщении #594935 писал(а):

Ktina в сообщении #594930 писал(а):

О! По-моему, это - то самое.

Особо губу не раскатывайте...

Уже поняла. Нужно было губозакатин вовремя принять.

[Sonic86]

Вряд ли там что-то получится.
Такой вопрос: можно ли все нули (их счетное число), выразить через первый, например?

[AKM]

Sonic86 в сообщении #594938 писал(а):

Вряд ли там что-то получится.

Конечно, получится: "красивенькое" изначальное уравнение превратится в невзрачную эквивалентную хрень. И это, по-моему, ценно.
Вопросы типа

Ktina в сообщении #594903 писал(а):

Как это уравнение решается в комплексных числах?

Ktina в сообщении #594911 писал(а):

А реально ли найти хотя бы одно решение этого уравнения школьными методами

следует перезадать себе, уже глядя на эту эквивалентную хрень. Как она решается (теперь в вещественных числах)? Оно нам нужно? Оно нам интересно?

[Ktina]

AKM в сообщении #594942 писал(а):

Оно нам нужно? Оно нам интересно?

А в разве в математике может быть что-то ненужное и неинтересное?
Задача

Цитата:

В уравнении $e^z=z$ неизвестная $z$ является комплексным числом. Имеет ли это уравнение решения?

имеет как минимум учебный интерес.