если пересечение всех нетривиальных подгрупп - нетривиально

[tavrik]

для некоторой группы $G$ то доказать, что каждый её элемент - конечного порядка.
дать пример такой(неабелевой) группы.

по условию в этом пересечении существует $a$ - а с ним и все его степени(поскольку пересечение само по себе подгруппа). кроме того там есть единица $e$.
тут немного началась путаница - ведь ничего не сказано о том, что пересечение конечно.
можно ли утверждать, что $a^k=e$
и как оттуда?

спасибо

[apriv]

tavrik в сообщении #594854 писал(а):

по условию в этом пересечении существует $a$ - а с ним и все его степени(поскольку пересечение само по себе подгруппа). кроме того там есть единица $e$.

Единица там есть не «кроме того», она сама является степенью $a$.

tavrik в сообщении #594854 писал(а):

тут немного началась путаница - ведь ничего не сказано о том, что пересечение конечно.

Ну, ежели не конечно — найдите нетривиальную подгруппу, в которую $a$ не входит.

[tavrik]

[/quote]
Ну, ежели не конечно — найдите нетривиальную подгруппу, в которую $a$ не входит.[/quote]

в том смысле...например: $a^{k-1}\ne{e}$ и отсюда?
найти подгруппу порядка $k-1$

[Профессор Снэйп]

Я долго пытался понять условие, уж больно ТС косноязычен... Понял так:

Доказать, что если пересечение всех неединичных подгрупп группы $G$ является неединичной подгруппой, то каждый элемент группы $G$ имеет конечный порядок.

Ну дык это же очевидно! Пусть $a \in G$ - элемент бесконечного порядка. Рассмотрите подгруппы $\langle a \rangle, \langle a^2 \rangle, \langle a^4 \rangle, \langle a^8 \rangle, \ldots$, посмотрите, чему равно их пересечение.

-- Пт июл 13, 2012 15:18:23 --

А, ещё пример надо... $p$-адические числа подойдут?