Решение уравнения в Wolfram Mathematica 8

[Dashkov]

Здравствуйте.
Подскажите как корректно записать уравнения в Wolfram Mathematica на нижний предел интегрирования. Пробовал записать в лоб. Находил неопределенный интеграл, а после подставлял значения, но математика и при таком подходе не может решить уравнение. Для решения применял команды Solve, NSolve, FindRoot.
$\int_{x}^p\sqrt{1 + {a^2 t^2}/{b^2 (b^2-t^2)}}dt=\operatorname{const}$


Описался, исправил значения. Верхний предел переименовал.

[espe]

По-моему проще продифференцировать по $x$ и потом решить.

[Dashkov]

дифференцирование съест параметр p и const. Онb мне еще пригодятся)

[espe]

Как он его съест? Вы наверное не правильно дифференцируте. Продифференцируйте в Mathematica. Даже если съест, то это значит, что от него ответ не зависит.

Я по-моему наврал. То, что я написал не эквивалентно исходной задаче.

-- Ср июл 11, 2012 09:52:23 --

Хотелось бы узнать правильно ли я понял постановку задачи. Есть уравнение вида

$$\int_x^pf(t;a,b)dt=d$$

и нужно найти $x$ как функцию $a$, $b$, $d$, $p$, т.е. $x=g(a,b,p,d)$?

Или имелось ввиду что-то другое? Если первое, то я наврал.

[Dashkov]

Вы правильно поняли задачу. Но для меня подойдет и численный метод, надо понять как сделать это уравнение решаемым для математики.

[Vince Diesel]

По умолчанию в математике все параметры предполагаются комплексными. В сложных случаях стоит указывать, что параметры действительные или множества, которым они принадлежат. Вот так

Integrate[Sqrt[1 + a^2 t^2/( b^2 (b^2 - t^2))], {t, x, p},  Assumptions -> {a > 1, p > x > 1 > b > 0}]

ответ получается:

b*(EllipticE[ArcSin[x/b], 1 - a^2/b^2] - EllipticE[ArcSin[p/b], 1 - a^2/b^2])

Можно выбирать другие варианты, или численно проверить, сохраняется ли эла формула при других предположениях относительно параметров.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Околонаучный софт»

[Dashkov]

После ввода всех допустимых ограничений результат отрицательный. Математика задумывается на продолжительное время, а у меня таких вычислений должно быть более 500.
Даже если взять функцию которую вы получили и на нее записать уравнение, то решение на x не могу найти ни одной известной мне командой поиска корней. Выдает сообщение

Inverse functions are being used by NSolve, so some solutions may not \
be found; use Reduce for complete solution information.

и ответ

{{x -> 3. Sin[
     InverseFunction[EllipticE, 1, 2][
      1.6887866324408823362138557161739, 5/9]]}}

если я правильно понимаю, главная проблема в нахождении обратной функции.
Есть ли основные рекомендации при решении таких уравнений?

пробовал указать, что надо искать действительные корни, результат 0.

[Vince Diesel]

Если нужно много и численно, точное значение можно и не искать:

f[a_, b_, x_, p_] :=  NIntegrate[Sqrt[1 + a^2 t^2/(b^2 (b^2 - t^2))], {t, x, p}]
FindRoot[f[1, 2, x, 4] == 1, {x, 3}]

[Dashkov]

Вроде продвижения есть, но ответ очень сильно зависит от начальной точки. При определенных условиях ответ колеблиться от 0 до 3 в зависимости какую точку выбрать начальной.
Еще постоянно выдает ошибку

NIntegrate::nlim: tt = x10 is not a valid limit of integration

Если я правильно понял, эта ошибка не существенна при решении, так как значение выдеает, но лучше в численном интегрировании точно указывать нижнее значение при введении новой функции.

[Vince Diesel]

Если у уравнения несколько решений, ответ, конечно, зависит от начального приближения. Тут можно порисовть графики и прикинуть, какой корень нужен.

[Dashkov]

В том то и дело, у уравнения одно решение. Причем функция монотонная.

[Logrus]

Спасибо Vince Diesel,очень ценная информация, что в NIntegrate можно подставлять неизвестные параметры. Dashkov, вероятно, имел ввиду эллиптический интеграл, который неправильно записал: $ \int \sqrt \frac {1 -a^2t^2} {b^2(1-t^2)} dt $