Эквивалентность стохастических уравнений

[Bridgeport]

Добрый день!

Ширяев в "Основы стохастической финансовой математики" называет

$\int_{0}^{t}\frac{dS_r}{S_r}=\int_{0}^{t}\mu(r) dr +\int_{0}^{t}\sigma(S_r, r)dW_r$

вольной формой

$S_t-S_0=\int_{0}^{t}S_r\mu(r)dr +\int_{0}^{t}S_r\sigma(S_r, r)dW_r$

Эквивалентны ли эти два уравнения (вплоть до неразличимого, или по как-нибудь другому критерию единственности)?

Если да, то как это показать? Я начал с применения формулы Ито к логарифму, и пока все...

$\int_{0}^{t}\frac{dS_r}{S_r}=\ln S_t - \ln S_0 +\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sigma^2(S_r, r)dr$

[zhoraster]

Второе уравнение можно записать как $dS_t=S_t\mu(t)dt + S_t\sigma(S_t, t)dW_t$. Поделите на $S_t$ и проинтегрируйте.

[Bridgeport]

Насколько я понимаю, запись через дифференциалы это всего лишь удобное обозначение. И любая запись через дифференциалы должна иметь интегральный аналог (только интегральные выражения наполнены смыслом). Так что мне неясно, что означает взять дифференциальное выражение и поделить на $S_t$. Как это выразить через интегралы?