Виды гранич усл и функц источника в 2-мерн з-че Дирихле

[eugrita]

В связи с написанием программы по решению задачи Дирихле (уравн Пуассона) для прямоугольника
хотел бы представлять какие виды граничных условий и функции источника имеют физические применения.
Так, самый простой вариант функции источника $F(x,y)=C$ (интерпретируется как равномерная плотность плоских зарядов.
Встречал в практикумах по ЧМ (правда скорее ради цели наличия аналитического решения)квадратичную функцию источника типа
$F(x,y)=a_1x+b_1y-a_{11}x^2-a_{22}y^2-a_{12}xy$.
По поводу граничных условий - наиболее привычные параболические
типа $u(a,y)=u(b,y)=\varphi(y), u(x,c)=u(x,d)=\psi(x) $
где $\varphi(y)=k_1y(L_2-y), \psi(x)=k_2x(L_1-x)
Больше особых идей нет. Конечно интересно посмотреть разрывные граничные условия типа
$u(a,y)=u(b,y)=0;u(x,c)=0; u(x,d)=1 $

[eugrita]

Есть еще вопрос -о применимости используемого в программе метода простых итераций.
Пока решается двумерная внутренняя задача Дирихле для прямоугольника. Можно ли и как применить этот метод для решения внешней задачи Дирихле для прямоугольника? Задачи Дирихле для круга?

[eugrita]

Несмотря на достаточное обилие учебных материалов и заданий для студентов я не увидел в них главного: Выводов по зависимости формы поверхности потенциала $U(x,y)$ от интенсивности (средней интенсивности) источника F или$F(x,y)$ и попыток сравнения аналитических решений (через интеграл ли Пуассона, через метод Фурье) с численными.
Так в результате моих расчетов задачи с 0-граничными условиями , $F=\operatorname{const}$ скажем в квадрате $0<x<L,0<y<L$
у меня получилась практически точная зависимость $ U_{max}=0.0732L^2F$
Т.е мах потенциал пропорционален плошади прямоугольника и F (или плотности q распределенного заряда)
При этом я не исследовал еще зависимость $U_{max}(k)$ где $k=L_1/L_2$ -
степень непрямоугольности. Предполагаю что эти результаты не новы, и следуют из каких-то аналитических исследований, но их не видел. Помогите