Теплообмен излучением между двумя телами

[mazaltz]

Подскажите пожалуйста, как найти H12 по формуле (15.4.2). Площади F1 и F2 задаются двумя прямоугольниками. Возможно ли найти H12 численным методом?
Спасибо.

[svv]

Плоскости, в которых находятся прямоугольники, параллельны друг другу?
Прямоугольники одинаковые и находятся друг напротив друга?

[mazaltz]

Все разное, примерно как на картинке. Прямоугольники только либо параллельные либо перпендикулярные, разнесены в пространстве.

[svv]

Ну, что тут скажешь, надо брать и считать 4-кратный интеграл. Поместить прямоугольники в декартову систему координат и выразить $\cos\theta_1$, $\cos\theta_2$ и $R_{12}$ через $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ — точки, "бегающие" при интегрировании по первому и второму прямоугольнику соответственно.

[svv]

Допустим, прямоугольники не просто находятся в параллельных плоскостях, но и соответствующие стороны их параллельны.
Первый прямоугольник:
$a_1\leqslant x_1 \leqslant b_1$
$c_1\leqslant y_1 \leqslant d_1$
$z_1=\operatorname{const}$
Второй прямоугольник:
$a_2\leqslant x_2 \leqslant b_2$
$c_2\leqslant y_2 \leqslant d_2$
$z_2=\operatorname{const}$
В этом простом случае $\cos\theta_1=\cos\theta_2=\frac h r$, где
$h=|z_2-z_1|$,
$r=\sqrt{h^2+(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Поэтому $\frac{\cos\theta_1 \cos\theta_2}{r^2}=\frac{h^2}{r^4}$

Интеграл принимает вид:

$$\frac{h^2}{\pi}\int\limits_{y_2=c_2}^{d_2}\int\limits_{x_2=a_2}^{b_2}\int\limits_{y_1=c_1}^{d_1}\int\limits_{x_1=a_1}^{b_1}\frac{dx_1 dy_1 dx_2 dy_2}{\left(h^2+(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\right)^2}$$

Я думаю, что Вы сами сможете записать интеграл в более сложных случаях.

[mazaltz]

svv, спасибо большое. Интеграл нужен для математической модели, не подскажите геометрический смысл интеграла? Считать такой интеграл в общем случае проблематично. Думаю нужно применять численные методы.

[svv]

Геометрический? Трудно сказать, этот интеграл и так определен в чисто геометрических терминах.
Он выражает суммарное влияние первого тела на второе в виде суммы влияний малых участков поверхности первого тела на малые участки поверхности второго тела. А для элементарных участков это влияние зависит от площади, расстояния и взаимной ориентации.

В интеграле явственно просматривается $\int \frac{\cos\theta_2 dF_2}{R^2}$ — это просто телесный угол, под которым из некоторой точки первого тела видно второе тело. Аналогично можно трактовать $\int \frac{\cos\theta_1 dF_1}{R^2}$ — телесный угол, под которым из некоторой точки второго тела видно первое тело. Хотя, строго говоря, выделять такие интегралы из полного интеграла нельзя, некий ключ к пониманию они дают. Косинусы, входящие в интеграл, выражают тот факт, что для теплообмена важна не площадь некоторого участка поверхности, а площадь его проекции на плоскость, перпендикулярную лучу зрения. Представьте, что в нескольких метрах от Вас находится раскаленный диск диаметром 1 метр, повернутый к Вам. Даже в отсутствие конвекции Вы чувствуете тепло, исходящее от него — это инфракрасное излучение. Но стоит повернуть диск ребром, как теплообмен за счет излучения резко уменьшится — важна проекция площади, а она стала почти нулевой.

Величина $H_{12}$ имеет размерность площади. Она имеет следующий физический смысл. Первое тело светит в пространство, и лишь некоторая часть излучения попадает на второе тело. Если бы можно было обеспечить от некоторой площади поверхности первого тела стопроцентную передачу энергии излучения второму телу (например, приложив второе тело вплотную к первому), то какую площадь соприкосновения надо взять, чтобы теплообмен был тем же? С какой площади первого тела надо всю энергию отдавать второму телу, чтобы чтобы теплообмен был тем же? Площадь $H_{12}$ и есть такая эквивалентная площадь.

На абстрактном уровне этот интеграл можно трактовать как скалярное произведение двух участков поверхности (понимаемое в не совсем обычном смысле), но Вы явно спрашивали не об этом.

В случае сложных поверхностей находить интеграл надо только численно. Но для достаточно удаленных тел справедливы простые приближенные формулы. Когда расстояние $R$ между телами велико по сравнению с размерами тел, интеграл примерно равен $\dfrac{S_{\perp 1} S_{\perp 2} }{\pi R^2}$. В числителе — площади проекций поверхности тел на плоскость, перпендикулярную линии между телами.

-- Ср июл 11, 2012 14:02:19 --

P.S. Аналогичные формулы для коэффициента влияния одного тела на другое встречаются в физике — см. например, формулу для коэффициента взаимной индукции двух контуров с током — очень похожую и, по сути, чисто геометрическую:
$M_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_1}\oint_{C_2} \frac{\mathbf{ds}_1\cdot\mathbf{ds}_2}{|\mathbf{R}_{12}|}$

[mazaltz]

Благодарю за столь исчерпывающий ответ. Задача стала ясней.