Аналитическое описание плавных изменений параметра, распреде

[kt368]

Здравствуйте! Может кто-то сможет мне помочь в попытке описать аналитически следующую модель:
Абстрагировавшись от конкретики моей задачи (для упрощения) буду говорить о процентном содержании соли в тягучей жидкости, находящейся в плоском сосуде. Жидкость состоит из квадратов с постоянной концентрацией в каждом, но от одного квадрата к другому концентрация разная (известная). Ясное дело, что границы этих квадратов размытые, т.е. концентрация плавно меняется от концентрации в одном квадрате до концентрации в другом. В распоряжении имеется функция, f(x) (одномерная), которая представляет собой плавный переход от одного значения до другого. Можно регулировать ширину этого перехода. Нужно аналитически описать концентрацию соли в этом плоском сосуде (искомая концентрация - функция от двух координат). Какие-то идеи есть, но не могу сообразить что будет будет на границе четырёх квадратов с разной концентрацией в каждом....
Может кто-то свежим взглядом глянет и что-то толковое подскажет?
Заранее спасибо.

[worm2]

Я так понимаю, функция $f(x)$ у Вас — это гладкая "шапочка", которая "живёт" в районе нуля (в интервале $[-\delta,+\delta]$, вне этого интервала нуль). Если $f(x)$ возрастает в окрестности нуля от 0 до 1 (или от -1 до 1), то из неё можно сделать эту "шапочку", продифференцировав. Затем её надо нормировать (домножить на константу) так, чтобы интеграл от неё по вышеуказанному отрезку был равен 1.
Стандартная процедура для того, чтобы сделать из разрывной функции гладкую — сглаживание с помощью свёртки с такой вот гладкой "шапочкой". Пусть $C(x,y)$ — Ваша кусочно-постоянная функция концентраций. Тогда сглаженная $\widetilde{C}(x,y)$ будет считаться так:

$$\widetilde{C}(x,y)=\int\limits_{x-\delta}^{x+\delta}\int\limits_{y-\delta}^{y+\delta}C(\xi,\eta)f(x-\xi)f(y-\eta)\,d\xi\,d\eta$$

Дальше надо подставлять, интегрировать, упрощать. Может быть, проще для понимания окажется один раз сделать интегрирование для функции, равной единице в одном квадратике и нулю в остальных, получить формулу, а затем просуммировать такие формулы по всем квадратикам с коэффициентами-концентрациями в этих квадратиках. Контрольное отношение для понимания: в точках, отстоящих от границ более чем на $\delta$, $\widetilde{C}$ должна совпадать с $C$.

[kt368]

Спасибо за помощь, буду разбираться.

[kt368]

Большое спасибо, всё получилось!