Метризуемость векторной топологии

[xmaister]

Требуется доказать, что ТВП метризуемо тогда и только тогда, когда $X$- пространство с первой аксиомой счетности. Я разобрался с такой конструкцией: пусть $\mathscr{B}$- счетная локальная база, такая что $V_{n+1}+V_{n+1}\subset V_n$, пусть $D$- множество чисел из $[0,1)$ имеющих в двоичной записи конечное число единиц. Положим $A(r)=c_1(r)V_1+ c_2(r)V_2+\ldots$, $r=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n(r)2^{-n}$, $f(x)=\inf \{r|x\in A(r)\}$, тогда $d(x,y)=f(x-y)$- инвариантная метрика на $X$ совместная с топологией. Мне инетересно, какие ещё есть метрики на $X$?

[FFFF]

Если топологическое (не обязательно векторное) пространство $X$ удовлетворяет второй аксиоме счётности, то $X$ метризуемо iff $X$ - регулярно (доказывается вложением в $l_2$). Интересно, Ваше условие можно как-нибудь свести к этому?

[xmaister]

FFFF, а можно ли задать на ТВП $X$ с IAC не инвариантную метрику? Скорее всего можно, но как?

[Someone]

Пусть $f\colon X\to\mathbb R$ - любая непрерывная функция, $d\colon X\times X\to\mathbb R$ - какая-нибудь метрика. Тогда $\rho(x,y)=d(x,y)+|f(x)-f(y)|$ - тоже метрика.

[FFFF]

xmaister в сообщении #593541 писал(а):

можно ли задать на ТВП с IAC не инвариантную метрику?

Я вообще не очень шарю, а что значит "инвариантная метрика"?

xmaister в сообщении #593514 писал(а):

Мне инетересно, какие ещё есть метрики на $X$?

Ещё можно придумать так:
Если $f: \mathbb R_+ \to\mathbb R_+$ возрастающая функция, такая что: $f(0)=0$ и $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$, то $f(d(x,y))$ - тоже метрика

[xmaister]

Someone, я уже увидел, что можно найти не инвариантную метрику, спасибо на метризуемом ТВП.