Две произвольные последовательности

[Ktina]

Пусть $a_1, a_2, a_3, \dots$ и $b_1, b_2, b_3, \dots$ - две произвольные бесконечные последовательности натуральных чисел.

Доказать, что существуют такие различные индексы $r$ и $s$, что

$$ \begin{cases} a_r\ge a_s \\ b_r\ge b_s \end{cases} $$

[kw_artem]

Предположим обратное, а именно:

$$ \forall r>s: \begin{cases} a_r > a_s \\ b_r < b_s \end{cases} \text{или} \begin{cases} a_r < a_s \\ b_r > b_s \end{cases}. $$

Приняв $\Delta a_{r,s}=a_r-a_s,\quad \Delta b_{r,s}=b_r-b_s$, это условие можно переписать в следующем виде:

$$\Delta a_{r,s}\Delta b_{r,s}<0$$

.
Другими словами это означает:
1) что обе последовательности должны иметь одинаковые промежутки возрастания и убывания, этому случаю удовлетворяют последовательности $a_n=C-kx_n$ и $b_n=C+lx_n$, где $C, k, l $-- такие числа, что общий член последовательности -- натуральное число;
2) что ни одна из последовательностей не должна иметь повторяющихся членов(иначе получилось бы, что $\Delta =0$).
Т.к. последовательность $a_n=C-kx_n$ ограничена снизу ($a_n=C-kx_n\geq1$), то последовательность $x_n$ ограничена сверху, откуда следует ограниченность сверху и $b_n$. Получается последняя последовательность ограничена как сверху так и снизу и при этом она не имеет повторяющихся элементов последовательности -- противоречие.

-- 07.07.2012, 18:03 --

На самом деле, не обязательно последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ будут иметь одну и ту же константу $C$. могут быть разные константы $A, B$ ($a_n=A-kx_n$и $b_n=B+lx_n$) но от этого доказательство не изменится

[Ktina]

Вот моё доказательство:

Если хотя бы в одной из последовательностей есть два одинаковых числа, то задача решена (индекс одного из них обозначим за $r$, а другого - за $s$).
Если же в каждой из последовательностей все числа попарно различны, возьмём наименьшее число в первой последовательности и обозначим его индекс за $s$. Все остальные члены первой последовательности будут больше $a_s$, а среди членов второй найдётся число, большее $b_s$ (так как все числа попарно различны, а последовательность бесконечна). Индекс этого числа мы и обозначим за $r$.

[kw_artem]

да, ваше доказательство куда проще!