Помогите разобраться с дивергенцией и решить систему

[m31-rootua]

Описывая физические процессы происходящие в моей диссертации у меня получилось следующая система для определения концентрации электронов и ионов:
$\begin{cases} \frac{\partial n_{e}}{\partial t}+div(j_{e})=\alpha-\beta\\ \frac{\partial n_{i}}{\partial t}+div(j_{i})=\alpha-\beta\\ \nabla E=\frac{e}{\varepsilon_{0}}(n_{i}-n_{e}) \end{cases}$ $j_{e}=-b_{e}n_{e}E-D_{e}grad(n_{e})$ $j_{i}=b_{i}n_{i}E-D_{i}grad(n_{i})$ $\alpha=k_{i}n_{a}n_{e}$ $\beta=k_{r}n_{i}n_{e}$ $n_{a}=N_{a}-n_{i}$

но к сожалению я не достаточно силён в математике и не могу никак решить эту систему чтобы найти значения $ n_{e} $ и $ n_{i} $. Основная проблема - я не знаю как тут поступить с дивергенцией, что и как делать чтобы решить эту систему. Я пытаюсь получить решение с помощь matlab, но пока ничего не выходит. Возможно кто-то мог бы мне помочь с решением этой системы или рассказать как в данной системе поступить с дивергенциями...
Буду очень благодарен всем за помощь. За мной не заржавеет;)

[Munin]

Что значит "как поступить с дивергенцией"? Никак, это часть уравнения, которое вам решать надо. Причём, чтобы решать, одного уравнения мало, надо ещё поставить задачу. Например, для краевой задачи надо задать краевые и начальные условия.

-- 05.07.2012 19:56:48 --

У вас курс уравнений (или методов) матфизики был? Вот его вспоминайте.

[m31-rootua]

Методы матфизики были - это для меня был полный кошмар(
Относительно системы, то тут: $E, b_{e}, D_{e}, b_{i}, D_{i},N_{a} $- константы для. Они вычисляются до начала расчёта этой системы.
Начальные значения $ n_{e} $ и $ n_{i} $ - известны.
Какие ещё данные мне нужны, чтобы решить эту систему? И как её вообще решать? Вопрос конечно смешной, но к сожалению что-то я не как не могу понять, как же оно решается(
Может какие-то аналогичные примеры Вы могли бы подсказать, что бы я на них глянул и возможно разобрался, что и как?;)

[Munin]

$\mathbf{E}$ у вас не константа, а определяется через третье уравнение и граничные условия. Граничные условия должны быть наложены на все искомые функции, тип граничных условий надо отдельно рассматривать и анализировать, чтобы система получилась решаемой.

Могу посоветовать перечитать учебники по уравнениям матфизики. Обычно в них рассказывается о более простых системах: одно уравнение, для скалярной, или иногда векторной функции. Но изложенные там принципы решения применяются и для систем, как у вас, для нескольких функций, включая векторные. В учебниках, или в задачниках, есть и примеры.

Где найти в интернете книги, знаете? Какие взять учебники, найдёте?

[m31-rootua]

Спасибо. Значит буду изучать. Куда копать вроде понял.
Буду благодарен, если посоветуете какой-то хороший учебник. Найти в интернете думаю смогу уже;)

[Munin]

Больше всего рекомендуют учебники Владимирова и Тихонова-Самарского. Мне нравится Морс и Фешбах. Ещё известен Кошляков и Глинер.

Ещё могут пригодиться справочники, написанные Поляниным и Зайцевым, по одному и в соавторстве. Они многие типы уравнений математической физики, и задач для таких уравнений, описали в подробностях.

[Vince Diesel]

Чтобы шансов получить полезный совет было больше, стоит написать систему, где у каждой функции указаны в скобках аргументы, от которых она зависит, а во-вторых, саму задачу.

m31-rootua в сообщении #592451 писал(а):

Какие ещё данные мне нужны, чтобы решить эту систему?

А это вам надо разобраться из физических соображений, в какой области задача решается и т.д.

m31-rootua в сообщении #592495 писал(а):

Буду благодарен, если посоветуете какой-то хороший учебник.

В стандартных учебниках рассматриваются стандартные типы уравнений. Это, конечно, нужно для качественного понимания возможных явлений. Однако вот такие системы разнотипных уравений там вряд ли есть. Ну и прежде, чем приниматься за решение системы такого вида, который не удается найти в литературе, стоит как следует проверить вывод уравнений и т.д., чтобы случаем не потратить много усилий на не ту модель

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #592512 писал(а):

Чтобы шансов получить полезный совет было больше, стоит написать систему, где у каждой функции указаны в скобках аргументы, от которых она зависит

А разве это не очевидно? Три функции, $n_e(x,y,z),$ $n_i(x,y,z),$ $\mathbf{E}(x,y,z).$ Всё стандартно, дрейф, диффузия, рождение и рекомбинация, электрический заряд. Многократной ионизацией пренебрегли.

Vince Diesel в сообщении #592512 писал(а):

Однако вот такие системы разнотипных уравений там вряд ли есть.

Вроде, параболического типа.

[Vince Diesel]

Физикам, может, очевидно, остальным надо разбираться А функции от $t$ еще должны зависеть. Все же проще быстро оценить систему, когда функции явно отличаются от констант. Первые два уравнения будут параболическими, если считаь $E$ заданной функцией, но есть еще третье.

А если такие системы в физике стандартны, то наверняка где-то уже описаны численные методы для них.

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #592545 писал(а):

Физикам, может, очевидно, остальным надо разбираться

Ну, просто это вещи, которые в стандартных ситуациях встречаются. Например, в физике полупроводников, там есть концентрации электронов и дырок, и тоже аналогичные уравнения.

Vince Diesel в сообщении #592545 писал(а):

А функции от $t$ еще должны зависеть.

Да, спасибо, конечно же. $n_e(x,y,z,t),$ $n_i(x,y,z,t),$ $\mathbf{E}(x,y,z,t).$ Если наложены какие-нибудь условия, например, сдвиговой симметриии по $z,$ то каких-то координат может не быть. Или, если задача в недекартовых координатах, соответственно, тоже буквы меняются.

Vince Diesel в сообщении #592545 писал(а):

Все же проще быстро оценить систему, когда функции явно отличаются от констант.

Да. Ну, я их по стандартным обозначениям узнал: $n$ - концентрация, $\mathbf{j}$ - ток, $\mathbf{E}$ - электрическое поле, $D$ - коэффициент диффузии.

Vince Diesel в сообщении #592545 писал(а):

Первые два уравнения будут параболическими, если считаь $E$ заданной функцией, но есть еще третье.

Третье не зависит от $t,$ так что оно играет роль связи, наложенной на первые два. Не уверен, но надеюсь, оно параболического типа не портит. А если портит, то там, наверное, интегро-дифференциальное уравнение получается, я в них не разбираюсь.

Vince Diesel в сообщении #592545 писал(а):

А если такие системы в физике стандартны, то наверняка где-то уже описаны численные методы для них.

Численные-то, вроде бы, для всех параболических уравнений и систем одинаковы.