Нахождение спектра оператора

[GeorgeShadow]

В пространстве $C[-\pi,\pi]$ рассматривается оператор $Au=u(-x), x \in [-\pi,\pi]$ Найти спектр оператора $A$.

Додумался вот до чего:
Найдем собственные значения оператора $A$:
При $\lambda=1$ кроме тривиального решения уравнению $Au-\lambda u=0$ будут соответствовать все четные функции, а при $\lambda=-1$ все нечетные функции. Эти собственные значения будут принадлежать дискретному спектру оператора $A$.

Трудность составляет нахождение резольвентного оператора. Не могу понять как он находится.
То что мне подсказали:
Операторное уравнение $Au-\lambda u=g$ эквивалентно уравнению $u(-x)-\lambda u(x)=g(x)$, а также уравнению $u(x)-\lambda u(-x)=g(-x)$. Умножая первое уравнение на $\lambda$ и сложив со вторым получим:

$$(1-\lambda^2)u(x)=g(-x)+\lambda g(x)$$

Если $\lambda \ne 1$ и $\lambda \ne -1$, тогда резольвентный оператор $R_{\lambda}(A)$ определен равенством:

$$R_{\lambda}(A)g=(A-\lambda I)^{-1}g=\frac{g(-x)+\lambda g(x)}{(1-\lambda^2)}$$

И является ограниченным. Следовательно, все собственные значения кроме этих двух - регулярные. И спектр состоит только из значений 0 и 1.

Не понял как найден этот резольвентный оператор, почему он будет ограниченным - ежу понятно.
Проверил правильность, подействовав оператором $(A-\lambda I)$ на полученное выражение - все сходится.

[GeorgeShadow]

Кажется, я разобрался)

[GeorgeShadow]

Продолжаю разбираться в спектрах, наткнулся теперь на вопрос такого рода.. Нашел пример следующего содержания:

В банаховом пространстве $C[0,1]$ оператор $A$ задается равенством: $Au(x)=xu(x)$. Найти спектр оператора.

Операторное уравнение $Au-\lambda u=f$, где $f\in C[0,1]$ - заданная функция, эквивалентно уравнению $xu(x)-\lambda u(x) = f(x), x \in [0,1]$, где искомой является непрерывная на отрезке $[0,1]$ функция $u(x)$ . При $\lambda \in \mathbb{R}\diagdown[0,1]$ решение этого уравнения существует и единственно для любой функции $f\in C[0,1]$ и определено равенством $u(x)=\frac{f(x)}{x-\lambda}$. Таким образом, при $\lambda \in \mathbb{R}\diagdown[0,1]$ существует ограниченный резольвентный оператор, и $\lambda$ является регулярным значением оператора $A$.

Пусть $\lambda\in[0,1]$. Если непрерывная на отрезке функция $u(x)$ является решением уравнения $(x-\lambda)u(x)=f(x), x\in[0,1]$, то при $x=\lambda$ левая часть уравнения обращается в нуль. Следовательно, необходимым и досаточным условием существования решения в этом случае является $f(\lambda)=0$. Таким образом, при $\lambda\in[0,1]$ резольвентный оператор определен на множестве $Y_{\lambda}\subset[0,1]$, состоящем из функций, равных нулю в точке $x=\lambda$. Также резольвентный оператор неограничен на $Y_{\lambda}$. Итак, отрезок $[0,1]$ является спектром оператора $A$, причем остаточным, поскольку $\overline{Y_{\lambda}}\notin C[0,1]$.

В принципе я разобрался в этом примере, но возникает два вопроса:
Первый и главный: Чем здесь особенный отрезок $[0,1]$. Почему решение $u(x)=\frac{f(x)}{x-\lambda}$ не работает для этого отрезка? Не понимаю.
Второй вопрос: почему $\overline{Y_{\lambda}}\notin C[0,1]$.

[Munin]

Если бы пространство было $C[a,b],$ то и отрезок был бы $[a,b].$

[GeorgeShadow]

Так почему резольвента $\frac{f(x)}{x-\lambda}$ не работает для отрезка $[0,1]$? Я этого не могу понять... вроде же если мы здесь поставим $\lambda$ из промежука $[0,1]$ ничего страшного с ограниченностью не случится...

[Munin]

GeorgeShadow в сообщении #592437 писал(а):

ничего страшного с ограниченностью не случится...

А поподробнее? Как будет вести себя $u(x)$ в окрестности точки $x=\lambda$?

[GeorgeShadow]

Ну при $x=\lambda$ она будет неограниченной. При $x$ стремящемся к $\lambda$ она будет неограниченно возрастать или убывать. Это понятно. Но все же я имел в виду конкретно отрезок $[0,1]$.. Или я чего-то совсем туплю.

-- 05.07.2012, 18:54 --

Хорошо, сформулирую так: почему рассуждение

При $\lambda\in [0,1]$ решение этого уравнения определено равенством $\frac{f(x)}{x-\lambda}$?

неверно?

-- 05.07.2012, 19:02 --

А.. во.. кажется понял.. но второй вопрос остается загадкой пока для меня :) Про $\overline{Y_{\lambda}}\notin C[0,1]$

[Nemiroff]

GeorgeShadow в сообщении #592441 писал(а):

Хорошо, сформулирую так: почему рассуждение

При $\lambda\in [0,1]$ решение этого уравнения определено равенством $\frac{f(x)}{x-\lambda}$?

неверно?

Потому что получающаяся в результате рассуждений функция - неограниченная.

GeorgeShadow в сообщении #592441 писал(а):

Про $\overline{Y_{\lambda}}\notin C[0,1]$

Ну как бы явно, если функции в одной точке закреплены, то они не всюду плотны в $C[0,1]$

[GeorgeShadow]

Все.. я полностью разобрался сам...))) Спасибо) если еще вопросы будут по спектрам, сюда отпишу :)

[Munin]

GeorgeShadow в сообщении #592441 писал(а):

Ну при $x=\lambda$ она будет неограниченной. При $x$ стремящемся к $\lambda$ она будет неограниченно возрастать или убывать. Это понятно. Но все же я имел в виду конкретно отрезок $[0,1]$.. Или я чего-то совсем туплю.

Ну так разве эта функция будет принадлежать $C[0,1]$?

-- 05.07.2012 20:06:28 --

GeorgeShadow в сообщении #592441 писал(а):

А.. во.. кажется понял..

Извините, что долго отвечал :-)