Помогите решить систему ДУ (исследование поведения)

[seabeer]

Помогите, пожалуйста, решить систему ДУ:

\[ \left\{ \begin{array}{l} \dot x = x \cdot \left( {A + By + Cz} \right) \\ \dot y = Dx + P \cdot \left( {y - z} \right) \\ \dot z = Qy + Rz + S \\ \end{array} \right. \]

У меня почему-то всякая попытка приводит к неоперабельным выражениям. Я давно этим делом не занимался.

[V.V.]

seabeer писал(а):

У меня почему-то всякая попытка приводит к неоперабельным выражениям.

Неудивительно. Нелинейная система из трех уравнений. С чего бы ей решаться в квадратурах?

[seabeer]

нда... я заметил у неё некую "Лоренцевость", но все же надеялся...
Тогда другой вопрос. В системе наблюдаются затухающие флуктуации при определенных начальных условиях (численный эксперимент). Каким способом можно доказать, что эти флуктуации всегда затухающие, т.е. что там где-то сидит аттрактор?

[V.V.]

seabeer писал(а):

Каким способом можно доказать, что эти флуктуации всегда затухающие, т.е. что там где-то сидит аттрактор?

Если всегда затухающие, то есть условия на постоянные, которые Вы не написали.

Попытайтесь написать функцию Ляпунова. Если система глобально устойчива, то аттрактор где-то сидит.

[seabeer]

Подскажите пожалуйста источник, где можно было бы почитать о методе функций Ляпунова. Желательно, чтобы примеры были, а не только теория.

[V.V.]

seabeer писал(а):

Подскажите пожалуйста источник, где можно было бы почитать о методе функций Ляпунова. Желательно, чтобы примеры были, а не только теория.

http://joker.botik.ru/~trushkov
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Пункт 3.2

[Zai]

Ваша система, когда a>>-(by+cz) линейная. То же самое когда X слабо меняется. Найдите собственные числа для этих двух случаев, а по ним будет ясно что делать дальше.

Система имеет положение равновесия если:детерминант D(CQ-BR) не равен нулю. Если записать уравнения так, чтобы положение равновесия было в точке (x_0,0,0),
то при исследовании число параметров на один праметр меньше.

\[ \left\{ \begin{array}{l} \dot x = (x-x_0) \cdot \left( { By + Cz} \right) \\ \dot y = Dx + P \cdot \left( {y - z} \right) \\ \dot z = Qy + Rz\\ \end{array} \right. \]

У Вашего аттрактора может быть все три собственные значения положительны.
Нужно уточнить значения коэффициентов.


У Лоренцова аттрактора всего три параметра.а в положении равновесия только одно собственное значение положитнльно. При больших значениях X, лоренцов атракктор имеет интеграл y^2+z^2 = const. Все коэффициенты на главных диагоналях отрицательны: -\sigma,-1,-b

Аттрактор Лоренца:

\[ \left\{ \begin{array}{l} \dot x =-\sigma x +\sigma y \\ \dot y = rx-y-xz \\ \dot z = -bz+xy\\ \end{array} \right. \]

Значения параметров:
\sigma=10,r=28,b=8/3