Обратный тензор

[SuperH1]

Задан тензор в полярной системе координат.
Нужно найти обратный к нему тензор в декартовой системе координат.
Как его найти?

[svv]

Что такое "обратный тензор"?
Скорее всего, у Вас тензор 2-го ранга, например (1,1)-тензор ${a^i}_k$, и надо найти такой тензор ${b^i}_k$, что ${a^i}_k {b^k}_{\ell}=\delta^i_{\ell}$.
Я бы посоветовал сначала вычислить компоненты в декартовой системе, затем записать в виде матрицы и найти обратную.
Многое зависит от того, какой у Вас всё-таки тензор — уточните.

[SuperH1]

Тензор как матрица $2\times 2$.
(Если я не ошибаюсь, тензор 2-го ранга можно рассматривать как линейный оператор.)
Тензор диагональный: $\rho = \mathrm{diag}(\rho_1,\rho_2)$
Можно сначала найти обратную матрицу в полярных координатах: $\mathrm{diag}(1/\rho_1,1/\rho_2)$, а потом умножить полученную матрицу на матрицу перехода и тем самым перейти к декартовым координатам.
А можно сначала перевести тензор в декартову систему координат (умножить исходную матрицу $\mathrm{diag}(\rho_1,\rho_2)$ на матрицу перехода), а потом найти обратную матрицу.
В результате получаются разные матрицы.
Я предполагаю, что нужно сначала перевести исходный тензор в декартову систему координат, а только потом находить обратную матрицу.
Как правильно?

[svv]

Результат от порядка операций зависеть не должен, только давайте уточним пару моментов.
1) Вы работаете с тензором $(1,1)$ — линейным оператором $L\to L$, а не c тензором $(2,0)$ — билинейной формой $L\times L\to K$. Их матрицы по-разному преобразуются при переходе к другому базису: $P^{-1}AP$ и $P^TAP$ соответственно, где $P$ — матрица перехода. Итак, первый вариант, линейный оператор.
2) Написав "умножить исходную матрицу на матрицу перехода", Вы всё же имели в виду $P^{-1}AP$.

Если это выполнено, зажигается зелёный свет: Вы можете сначала находить обратную матрицу, затем переходить к другой системе, либо наоборот. Совпадение результатов гарантируется матричным тождеством
$P^{-1}A^{-1}P=(P^{-1}AP)^{-1}$

[SuperH1]

Большое спасибо.