Обращение и псевдо обращение матриц

[ewert]

ogaman в сообщении #593635 писал(а):

при этом относительный разброс может достигать громадных значений, а с.в. и с.з. при этом будут найдены очень точно.

Ага, могут. Если предположить, что элементы матрицы заданы точно. Но заданы-то они откровенно с погрешностью, как минимум с погрешностью округления. И тогда практически значим лишь вопрос -- насколько устойчив алгоритм к влиянию этих погрешностей. Очевидно, что повышение точности промежуточных операций на этот вопрос никак не отвечает; и учёт всё более далёких сингулярных чисел способен лишь увеличить неустойчивость.

Есть классическое изречение Гексли, которое любил цитировать ак. А.Н.Крылов: "Математика, подобно жернову, перемалывает то, что под него засыпают; и как, засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных предпосылок".

[ogaman]

Алгоритмы нахождения с.в. и с.з. для трехдиагональных матриц, о структуре которых я писал, численно устойчивы: интересно, из какой задачи топикастер извлекает матрицы?

[ewert]

ogaman в сообщении #593635 писал(а):

Четверная точность здесь полезна тем, что сравнивая решения с двойной и четверной точностью, мы можем судить о числе правильных значащих цифр, найденных с 2-ой точностью: распределение элементов в матрице таково, что найденные с.в. и с.з. находятся со значительно более высокой точностью, чем ожидается на первый взгляд

Так, ещё одна добивка. Четверная точность, разумеется, может подтвердить (или опровергнуть) точность решения данной цифровой задачки как идеализированной. Но она (сама по себе) естественно, ничего ровно не способна сказать относительно обоснованности этой идеализации. Это просто не её функция. "Даже самая красивая девушка не может дать больше того, что она может дать" (с), якобы с французского

[ogaman]

Дело не в идеализации, а в специфическом распределении элементов м-цы: отразите ее элементы от диагонали, исходящей из нижнего левого угла и никакая идеализация не поможет, хотя в идеале ничего и не изменилось.

[trofimovep]

Их несколько существует:
-самый распространенный - алгоритм Гревиля,
-алгоритм Фаддеева.
В случае полного столбцового (строкого - в зависимости от размерности матрицы) ранга эрмитовы формулы, или как они там называются, которые транспонированная на обратную произведения матрицы на транспонированную (в вики хороший текст).

Для блочных есть отдельные:
-формулы Клайна, самое простое

Также видел, что блочные алгоритмы разбирались в работах Блюмина, Шмырина по окрестностным системам.

В программной реализации Гревиль требует $m^4$ флопов. SVD вроде четвертый порядок сложности. Самая простая - эрмитовы формулы, но они не работают в неполных рангах, Гревиль же съест.
В дипломе я вывел для блочной третьего порядка, но мои формулы дают псевдообратную в определенных условиях, в общем случае -обобщенную обратную.