Замкнутое, ограниченное, но не компактное множество

[GeorgeShadow]

Доказать, что множество $x_n = \sin nt \in L_2[-\pi,\pi] (n \in \mathbb{N})$ замкнуто и ограничено, но не компактно.

Определение компактности: Множество $M$ называется компактным, если из каждой последовательности $x_n \in M (n \in \mathbb{N})$ можно выделить фундаментальную подпоследовательность.

Открытое множество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью.

Ограниченность его в принципе очевидна.

Вот собственно на этих определениях я и застрял в решении.

[ewert]

Поскольку тут промежуток подсунут предупредительно хороший -- всё сводится просто к тому, что элементы этого множества образуют ортогональную последовательность. Плюс ещё пара очевидных заклинаний.

[Maslov]

GeorgeShadow,
подумайте, чему равно расстояние между любыми двумя элементами Вашего множества и можно ли из него выделить фундаментальную подпоследовательность. Если можно, то как, если нет - почему?

[GeorgeShadow]

К сожалению лекции наш преподаватель заставлял читать студентов и сажал их, так как они не понимали о чем говорят, сам препод ничего не знает) Не могу представить что такое расстояние между двумя элементами в этом множестве

[xmaister]

(Оффтоп)

GeorgeShadow в сообщении #591871 писал(а):

К сожалению лекции наш преподаватель заставлял читать студентов и сажал их, так как они не понимали о чем говорят, сам препод ничего не знает) Не могу представить что такое расстояние между двумя элементами в этом множестве

Это никого не волнует. Есть куча книг по функциональному анализу, которые я тебе 100500 раз рекомендовал прочитать в течении семестра, чего ты, конечно же, не удосужился сделать. И за 4 дня до последней пересдачи не имеет смысла просить решить около 50 задач без малейшего представления о математике вообще.

GeorgeShadow в сообщении #591871 писал(а):

Не могу представить что такое расстояние между двумя элементами в этом множестве

Читай Колмогорова-Фомина хотябы... там есть

А лучше читай У. Рудина- функциональный анализ... она вполне доступна.

[Toucan]

GeorgeShadow в сообщении #591871 писал(а):

Не могу представить что такое расстояние между двумя элементами в этом множестве

При таком уровне знаний продолжать смысла не вижу. Тему временно закрываю. Когда (если) разберетесь, как считается расстояние в $L_2$, и захотите продолжить обсуждение этой задачи, пришлите мне ЛС -- тему открою.