Четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями

[Dave]

В четырёхугольнике $ABCD$ (не обязательно выпуклом) диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом в точке $L$, противоположные стороны $AB$ и $CD$ - в точке $M$, а противоположные стороны $AD$ и $BC$ - в точке $N$. Пусть $X$ - любая из вершин четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что отрезки $XM$ и $XN$ видны из точки $L$ либо под одинаковыми углами, либо под углами, дополняющими друг друга до $180 \textdegree$.

[TOTAL]

Перпендикулярные диагонали - оси координат с началом в $L.$ Находим координаты точек $M$ и $N,$ и видим, что отрезки видны под одинаковыми углами.

[neo66]

1) Это не спортивно.
2) А вы провели все эти вычисления?

[TOTAL]

neo66 в сообщении #591963 писал(а):

1) Это не спортивно.
2) А вы провели все эти вычисления?

Так все вычисления простые.
Пусть
$A=(x_1,0)$
$B=(0,y_1)$
$C=(x_2,0)$
$D=(0,y_2)$

Точка $M$ - это пересечение $AB$ и $CD,$ т.е. пересечение $\frac{x}{x_1}+\frac{y}{y_1}=1$ и $\frac{x}{x_2}+\frac{y}{y_2}=1.$
Поэтому для $M$ имеем $\frac{y}{x}=-\frac{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}{\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}}$
Аналогично для $N$ получаем $\frac{y}{x}=-\frac{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}{\frac{1}{y_2}-\frac{1}{y_1}}$

[neo66]

Действительно, просто.

(Оффтоп)

Но решать геометрическую задачу алгебраически, все-таки, неспортивно.)):