Стягиваемость

[xmaister]

Что-то не могу понять, является ли стягиваемость некоторого пространства $Y$ $\aleph_0$-мультипликативным свойством? Конечно-мультипликативным вроде бы является.

[Maslenizza]

Пусть $(Y_s:s\in S)$ -- семья стягиваемых пространств, $y_s\in Y_s$ и $\lambda_s:Y_s\times [0,1]\to Y_s$ -- непрерывная функция, такая, что $\lambda_s(y,0)=y$ и $\lambda_s(y,1)=y_s$ для каждого $s\in S$. Тогда функция $\lambda:\prod\limits_{s\in S} Y_s\times [0,1]\to \prod\limits_{s\in S}Y_s$, $\lambda(y,t)=(\lambda_s(y_s,t))_{s\in S}$ стягивает простанство $\prod\limits_{s\in S} Y_s$ в точку $y_0=(y_s)_{s\in S}$.

[Padawan]

Maslenizza
А это отображение не будет непрерывным. Надо хитрее делать, по одной координате.

[lyuk]

${\bf Padawan}$
Да нет, вроде непрерывное.

[Padawan]

lyuk
Обоснуйте.

[lyuk]

Пусть $y=(y_s:s\in S)$, $t\in [0,1]$, $z=(z_s:s\in S)=\lambda(y,t)$, $S_0\subseteq S$ -- конечное множество, $(W_s:s\in S_0)$ семейство открытых окрестностей $z_s$, $W_s=Y_s$ для $s\in S\setminus S_0$ и $W=\prod\limits_{s\in S}W_s$ базисная окрестность $z$.

Для каждого $s\in S_0$ выбираем окрестность $V_s$ точки $y_s$ и $U_s$ точки $t$ такие, что $\lambda_s(V_s\times U_s)\subseteq W_s$. Положим $V_s=Y_s$ для $s\in S\setminus S_0$, $V=\prod\limits_{s\in S}V_s$, $U=\cap\limits_{s\in S_0}U_s $. Тогда $\lambda(V\times U)\subseteq W$.

[Padawan]

lyuk
Да, Вы правы.