И снова о последовательностях

[Capella]

Дана такая последовательность $a_n = $ последней цифре от $ n^{n+1} $. Показать, что эта последовательность периодична и найти собственно период.

Источник: J.Binz, P.Wilker

[Руст]

Цифры повторяются через 10, периоды степеней по модулю 10
0-1
1-1
2-4
3-4
4-2
5-1
6-1
7-4
8-4
9-2
Соответственно НОД(4,10)=20 есть период.

[RIP]

Доказать, что последовательность $a_n=\frac1{n!}\int\limits_0^nx^ne^{-x}dx$ возрастает. Найти её предел.

[maxal]

RIP писал(а):

Доказать, что последовательность $a_n=\frac1{n!}\int\limits_0^nx^ne^{-x}dx$ возрастает. Найти её предел.

$$a_{n+1} - a_n = \frac1{(n+1)!}\int\limits_n^{n+1}x^{n+1}e^{-x}dx + \frac1{(n+1)!}\int\limits_0^n (x^{n+1} - (n+1)x^n)e^{-x} dx$$

Второй интеграл легко вычисляется:

$$a_{n+1} - a_n = \frac1{(n+1)!}\int\limits_n^{n+1}x^{n+1}e^{-x}dx - \frac{n^{n+1}e^{-n}}{(n+1)!}$$

Нетрудно проверить, что подинтегральная функция возрастает на отрезке интегрирования $[n,n+1],$ и поэтому $a_{n+1} - a_n > 0.$
А предел вроде как равен $\frac{1}{2},$ но вывод у меня муторный получился.

[RIP]

maxal писал(а):

А предел вроде как равен $\frac{1}{2},$ но вывод у меня муторный получился.

Да, верно. Есть очень красивое вероятностное доказательство (с использованием центральной предельной теоремы или как она там называется). Можно еще доказывать стандартным методом Лапласа либо в лоб, но тут придется повозиться.

[ИСН]

Грубо говоря, был бы интеграл до бесконечности - была бы это гамма-функция, а искомым пределом, соответственно, единица. А так он (интеграл) не до бесконечности, а примерно до середины горба. А по мере увеличения n горб всё более уподобляется гауссовскому, и это "примерно" становится всё более точным.
Подходящей заменой переменных (x=n+t\sqrt{n}) всё вышеописанное делается более строго, и таки да, красиво, хотя всё же не в одну строчку.

[RIP]

А вот вероятностное док-во.
Если две независимые случайные величины $\xi_1$ и $\xi_2$ имеют плотности $p_{\xi_j}(x)=\frac{x^{a_j-1}e^{-x}}{\Gamma(a_j)}$, $x>0$, $a_j>0$ (не помню название этого распределения, буду называть гамма-распределением с параметром $a_j$), то $\xi_1+\xi_2$ имеет гамма-распределение с параметром $a_1+a_2$.
Возьмем последовательность независимых одинаково распеделенных с.в. $\xi_n$ с гамма-распределением с параметром $1$, $S_n=\xi_0+\xi_1+\ldots+\xi_n$. По какой-то там предельной теореме

$$P\left(\frac{S_n-(n+1)}{\sqrt{n+1}}\leqslant0\right)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac12,$$

или

$$\frac1{n!}\int\limits_0^{n+1}x^ne^{-x}dx\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac12$$

Осталось заметить, что

$$\frac1{n!}\int\limits_n^{n+1}x^ne^{-x}dx=O\left(\frac1{\sqrt n}\right)$$

Нечестное решение, зато без всяких выкладок.