ТФКП, Разложить в степенной ряд, нати радиус сходимости

[Arhelius]

разложить в степенной ряд, нати радиус сходимости

$R(z)=\frac{{z}^{2}}{\cosh (z) - 1}$, $z_0=0$

cобственно сложность задания скорее в том, чтобы выполнить его так, как хочет преподаватель, поэтому прошу довести до конца данный способ решения, а не предлогать другой. Теперь непосредственно к решению:

$\cosh (z)=1+\frac{{z}^{2}}{2!}+\frac{{z}^{4}}{4!}+...$ табличное разложение Тейлора

подставляем в R(z) у нас удаляются единицы, выносим $z^2$ и сокращаем, в итоге получаем
$\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{{z}^{2}}{4!}+\frac{{z}^{4}}{6!}+...}$

собственно вопрос - что делать дальше и как считать радиус сходимости ? по словам преподавателя в дроби надо делить методом неопределееных коэфицентов либо большой дробью. Как это сделать в данном случае ? И как вообще тут искать радис и чему он равен ? ( по словам того же преподавателя надо выписать несколько первых членов и все будет видно геометрически )

[xmaister]

Раскладывать будем в кольце $0<|z|<2\pi$. $\frac{z}{e^z-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}z^n$ и $R(z)=\left(\frac{z}{e^{z}-1}\right)^2e^z$. Дифференцируйте почленно разложение $\frac{z}{e^z-1}$. Лорановское разложение $\frac{1}{e^z-1}$ в кольце $0<|z|<2\pi$ Вы найдете...

[Arhelius]

спасибо. я так понимаю радиус тут два пи. Только как вы поняли что в этом кольце мы будем рассматривать разложение?

[xmaister]

Arhelius в сообщении #591130 писал(а):

я так понимаю радиус тут два пи

Да, ведь теорема Лорана говорит о том, что функцию, аналитическую в кольце мы имеем право раскладывать в ряд. А в точках $z_i=2\pi ki$- особенность.

Arhelius в сообщении #591130 писал(а):

Только как вы поняли что в этом кольце мы будем рассматривать разложение?

У Вас по условию требуется разложить в окрестности нуля. Вот я и взял максимальное (нерасширяемое) кольцо в котором функция голоморфна.

[Arhelius]

ах да, я где-то читал что фактически радиус сходимости - это расстояние от центра до ближайшей особой точки. еще раз спасибо