Graph of the equation

[Keter]

$x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2}=1$

Я сделал замену $x=\cos \alpha; y=\sin \alpha, x, y \in [ -1; 1]$. Рассмотрел $\alpha$ в каждой из четырех четвертей. Вышло, что графиком является дуга единичной окружности, которая находится в первой четверти.

Но, задачник предлагает воспользоваться неравенством Коши-Буняковского для наборов $\Big( x; \sqrt{1-x^2} \Big)$ и $\Big( \sqrt{1-y^2}; y \Big)$.
Зачем?

[nnosipov]

Keter в сообщении #590792 писал(а):

Я сделал замену $x=\cos \alpha; y=\sin \alpha, x, y \in [ -1; 1]$.

Вы сделали катастрофическую ошибку --- связали между собой независимые переменные.

[Shtorm]

nnosipov в сообщении #590795 писал(а):

Keter в сообщении #590792 писал(а):

Я сделал замену $x=\cos \alpha; y=\sin \alpha, x, y \in [ -1; 1]$.

Вы сделали катастрофическую ошибку --- связали между собой независимые переменные.

Разве $y$ - это не функция от $x$?

[nnosipov]

Shtorm в сообщении #590796 писал(а):

Разве $y$ - это не функция от $x$?

Нет, $x$ и $y$ --- эта пара неизвестных, всевозможные наборы значений которых требуется найти, исходя из данного уравнения.

[Shtorm]

nnosipov в сообщении #590799 писал(а):

Shtorm в сообщении #590796 писал(а):

Разве $y$ - это не функция от $x$?

Нет, $x$ и $y$ --- эта пара неизвестных, всевозможные наборы значений которых требуется найти, исходя из данного уравнения.

Но уравнение связывает эти две величины. Если мы возьмём произвольные значения $x$ и $y$ - то может получится так, что равенство не выполнится и уравнение станет неверным. Лично я вижу тут неявно заданную функцию.

[gris]

А идея неплохая: только взять $x=\sin a; y=\cos b$.
Вроде бы там формула получается?

[Shtorm]

gris в сообщении #590804 писал(а):

А идея неплохая: только взять $x=\sin a; y=\cos b$.
Вроде бы там формула получается?

nnosipov, глядя на то, что написал gris, может быть нужно сказать, что $x$ и $y$ уже связаны данным уравнением, а топикстартер, сделав ту замену - написал другую связь, что привело к неверным результатам.

[Keter]

Shtorm, у меня совершенно верный ответ. Это действительно дуга единичной окружности в первой четверти. И $x,y$ - это неизвестные.

gris, там и так все получается.

Но вопрос в другом, при чем здесь идея автора с Коши-Буняковского?

[Shtorm]

Keter в сообщении #590818 писал(а):

Но вопрос в другом, при чем здесь идея автора с Коши-Буняковского?

Я могу ошибаться, но скажу так: Используем неравенство Коши-Буняковского к данному уравнению и тех наборов. По свойству строгое равенство выполняется тогда и только тогда, когда векторы, коллинеарны, пропорциональны - вот это и даёт нам право написать

$$ y=\sqrt {1-x^2}$$

Соответственно, Ваша замена - полностью законна.

[Keter]

После замены: $\cos \alpha |\cos \alpha|+\sin \alpha |\sin \alpha| = 1$

$\alpha \in \Big[ 0; \dfrac{\pi}{2} \Big)$ : $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \Rightarrow x^2+y^2 = 1$

$\alpha \in \Big[ \dfrac{\pi}{2}; \pi \Big)$ : $-\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \Rightarrow y^2-x^2 = 1$
Это гипербола, которая $\geqslant 1$ или $\leqslant -1$, тогда к первому случаю подключается точка с координатами $(0;1)$.

А остальные случаи не имеют решений, так как $E(f) \in [-1; 1]$, что касается тригонометрических функций.

Shtorm, все равно не понимаю, на каком этапе применения этого неравенства мы находим что-то общее с нашим равенством и делаем заключение, что нам нужно строгое равенство, а это возможно только тогда, когда... и так далее.

[Shtorm]

Цитата:

Shtorm, все равно не понимаю, на каком этапе применения этого неравенства мы находим что-то общее с нашим равенством и делаем заключение, что нам нужно строгое равенство, а это возможно только тогда, когда... и так далее.

Давайте так, внимательно прочитайте формулировку

Дальше читаем подсказку из учебника:

Цитата:

... задачник предлагает воспользоваться неравенством Коши-Буняковского для наборов $\Big( x; \sqrt{1-x^2} \Big)$ и $\Big( \sqrt{1-y^2}; y \Big)$.

Значит, тот $x$, который в Википедии равен Вашему $\Big( x; \sqrt{1-x^2} \Big)$

а тот $y$, который в Википедии равен Вашему $\Big( \sqrt{1-y^2}; y \Big)$

Находим скалярное произведение по формуле: первая координата первого вектора умножить на первую координату второго вектора плюс вторая координата первого вектора умножить на вторую координату второго вектора. В результате получили $x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2}$ - то есть левую часть неравенства Коши-Буняковского. Далее находим норму первого вектора, ну и тд и тп.

[Keter]

Shtorm, разобрался, спасибо Я с наборами путался, не те координаты брал.

[nnosipov]

gris в сообщении #590804 писал(а):

А идея неплохая: только взять $x=\sin a; y=\cos b$.
Вроде бы там формула получается?

Хорошая идея, и всё замечательно получается. ТС было бы полезно и таким способом решить задачу.