Открытое плотное подмножество $\mathbb{R}$

[xmaister]

Добрый день! Помогите доказать следующее утверждение:
Пусть $W$- плотное открытое подмножество $\mathbb{R}$. Нудно доказать эквивалентность следующих условий:
1. Каждая функция $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ непрерывная во всех точках $\mathbb{R}\setminus W$ и неубывающая на каждом открытом интервале, содержащимся в $W$, не убывает на всём $\mathbb{R}$.
2. $\mathbb{R}\setminus W$- счетно.

[theambient]

я могу лишь порассуждать вместе с вами:

(i) какова структура $W$?
(ii) открыто ли одноточечное подмножество в $\mathbb R$?
(iii) после осознания структуры $W$ (2) легко доказать от противного

и сразу можно сказать что, что из вашего (тр. доказательства) утверждения (2) следует (1)

[lyuk]

$(2)\Rightarrow (1)$.
Рассмотрим семейство максимальных открытых интервалов, на которых функция $f$ возрастает (не обязательно строго). Это семейство состоит из непересекающитхся интервалов, а его объеденение $G$ содержит $W$. Если $F=\mathbb R\setminus G\ne \emptyset$, то счетное множество $F$ содержит изолированую точку - противоречие.

-- 29.06.2012, 22:49 --

$(2)\Leftarrow (1)$. Пусть множество $\mathbb R\setminus W$ несчетное. Тогда существует содержащее $W$ открытое множество $G$ такое, что $\mathbb R\setminus G$ не содержит изолированых точек (что-то типа канторового множества). Тогда для этого множества строим непрерывную функцию, которая постоянна на каждом интервале из $G$ и убывает на $\mathbb R$.