произведение и отношениедействительных чисел на числовой оси

[goganchic]

Подскажите пожалуйста, как изобразить произведение действительных чисел на числовой оси? Если для сложения и вычитания все понятно (a + b -> откладываем от точки a отрезок длиной b в одну или другую сторону) то как быть с умножением и делением? Отложить отрезок a "b" раз нельзя, потому что число b может быть как целым, так и дробным или иррациональным, поэтому отложить отрезок длины корень из 2 корень из 3 раз не получится.

[_hum_]

Любое вещественное число приближается рациональными. Поэтому достаточно уметь строить для рациональных. А здесь все просто, например для $b = 2,3$

$$a\cdot 2,3 = a\cdot 2\dfrac{3}{10} = a\cdot 2 + a\cdot\dfrac{3}{10},$$

и значит, нужно отложить два раза отрезок длины $a$ и еще добавить три десятых его части.

[goganchic]

То что приближается - это понятно, но по той же теореме Лиувилля - не любое приближается хорошо. А потом, хочется понять, существует ли способ именно для вещественных чисел и не прибегая к дробям

[Cash]

Цитата:

То что приближается - это понятно, но по той же теореме Лиувилля - не любое приближается хорошо

Любое действительное число можно приблизить рациональным числом со сколь угодно точностью. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными здесь совсем не при делах.

С помощью теоремы Фалеса легко построить отрезок $\frac{ab}{c}$. Поэтому если задан единичный отрезок, то проблем особых нет.

[goganchic]

хорошо, с рациональным числом понятно, а без перехода к рациональным числам построить произведение никак нельзя?

[Cash]

Чтобы результат был однозначно определен, у вас должен быть задан единичный отрезок $e$. До построения отрезка $\frac{ab}{e}$ можно догадаться самому, погуглить или поискать здесь - тема недавно была.

[Алексей К.]

Будем считать, что число $a$ Вы изображаете отрезком $A=aE$, где $E$ --- некий фиксированный единичный отрезок (1см или от фонаря).
Число $b$ Вы изображаете отрезком $B=bE$.
Число $ab$ Вы должны изобразить отрезком $X=abE=\frac{A}{E}\cdot\frac{B}{E}\cdot{E}=\frac{AB}{E}$.

Так вот, если даны --- $\{A,B,E\}$, то задача легко решается.
А если исходные данные --- $\{a,b,E\}$, то... То надо самому строить $A=aE$. Например, $3E$ или даже $E\sqrt2$ я бы сумел построить, а вот $\pi E$...

Не стоит путать (отождествлять) $a$ и $A$.
В конце концов, в качестве "произведения отрезков" $AB$ можно и прямоугольник нарисовать, и, может это честнее будет.