Смешанная задача для уравнения теплопроводности

[soleado]

Здравствуйте. Пожалуйста, помогите разобраться.
Дано дифференциальное уравнение $u_t=a^2u_x_x+f(x,t)$
С граничными условиями $u(0,t)=u(\pi,t)=0$
и начальным условием $u(x,0)=\varphi(x)$

Суть метода разделения переменных для однородной задачи я понимаю. Не могу понять, где используется функция $f(x,t)$ в неоднородной задаче.

[ewert]

soleado в сообщении #590129 писал(а):

Не могу понять, где используется функция $f(x,t)$ в неоднородной задаче.

После "разделения переменных" (а разумнее говоря -- формального разложения решения по собственным функциям, зависящим от икса) для коэффициентов разложения, зависящих от времени, получаются дифференциальные уравнения вида $A_k'(t)=\lambda_kA_k(t)+b_k(t)$. Вот неоднородности $b_k(t)$ в этих уравнениях и определяются исходной неоднородностью $f(x,t)$ (они суть попросту коэффициенты Фурье разложения $f(x,t)$ по собственным функциям).

[soleado]

То есть тогда решение будет в виде ряда $u=\sum [(a_k+b_k)\exp(-a^2\lambda t)]$, где $a_k$ -- коэффициенты Фурье разложения $\varphi(x)$,$b_k$ -- коэффициенты Фурье разложения $f(x,t)$

[ewert]

Нэд.

Надо тупо записать решение уравнения теплопроводности формально в виде $\sum A_k(t)\,\psi_k(x)$, тупо подставить это формальное выражение в то самое уравнение теплопроводности, представить $f(x,t)$ в нём как его же разложение в ряд по $\psi_k(x)$ -- и приравнять коэффициенты при $\psi_k(x)$. Вот и получатся искомые ДУ для $A_k(t)$.

[soleado]

ewert в сообщении #590400 писал(а):

Вот и получатся искомые ДУ для $A_k(t)$.

Почему несколько несколько уравнений? Я подставляю и получаю $\sum A'_k(t)+\lambda_k A_k+b_k=0$
Или что-то я делаю неправильно?

[ewert]

Потому что для каждого $k$ -- своё уравнение.

[soleado]

А, теперь ясно! Спасибо!