Ровно три ближайших точки (из красивейших задач "Кванта")

[Ktina]

Одна из красивейших задач "Кванта" (особенно пункт б)):

а) На плоскости отмечено конечное число точек. Доказать, что среди них найдётся точка, у которой не более трёх ближайших (то есть находящихся на наименьшем от неё расстоянии; таких точек, вообще говоря, может быть несколько).

б) Существует ли на плоскости конечное множество точек, у каждой из которых в этом множестве ровно три ближайших?

[EtCetera]

б) Как-то так...

Все отрезки на рисунке следует считать одинаковыми, а точки $\text{---}$ искать в местах сопряжения отрезков. Закрашены правильные треугольники, объединенные в ромбы.
Кстати говоря, подходят все такие ожерелья с числом бусинок $n\ge 4$.

[hippie]

а)

Обозначим $m$ наименьшее из расстояний между парами точек данного множества.
Выберем подмножество, состоящее только из тех точек, для которых в данном множестве найдётся точка, расстояние до которой равно $m.$
Выпуклая оболочка этого подмножества — многоугольник (возможно, вырожденный в отрезок).
Для любой точки, лежащей в вершине этого многоугольника, найдётся от одной до трёх точек, лежащих на расстоянии $m$ от неё.