Из "Мат. смекалки" Кордемского

[Lesobrod]

У него там есть "нераскушенный орешек". Задача 354 в издании 57-59 годов.
Возьмём любое натуральное число с числом цифр $\geqslant 2$.
Переставим цифры в обратном порядке и сложим с исходным.
Будем повторять цикл, пока не получим симметричное число - палиндром.
Кордемский (или кто-то в то время) нашли рекордсмена: число "89" становится симметричным за 24 шага. Он же утверждает, что все числа рано или поздно дадут палиндром.

Ну, грех такое не покрутить на Mathematica. Оп-па и зависли...
Число "196" (и, как выяснилось, еще многие; но оно первое) оказалось мрачным диссидентом. Вплоть до 10000 циклов нет симметрии. А дальше, по ходу, надо врубаться в операции со сверхбольшими числами (Wolfram умеет работать целочисленно с любым числом цифр, но надо шаманить...)
Вот интересно, никто не слышал про теоретические результаты в этой области?
Люди увлекаются и гораздо более надуманными задачками ))))

[Ktina]

Это - открытая проблема.
Называется "196 problem".

[Lesobrod]

Хммм... Спасибо! Довольно приятно, что не только я пару часов,
но и еще некие ботанеки давно мучаются.
И, кстати, ни малейшего намёка на теорию. Глядя на график числа итераций,
готов поспорить, что замешаны простые числа.

[Ktina]

Lesobrod в сообщении #589882 писал(а):

...готов поспорить, что замешаны простые числа.

Не думаю.
Простота числа не зависит от системы счисления.

[Lesobrod]

Мда..Интересно...В двоичной системе первое непокорное число это "22".
И процент сопротивленцев гораздо больше - 22 на первую сотню.
Так какие же свойства чисел связаны с этим?!

[Ktina]

Lesobrod в сообщении #589891 писал(а):

Мда..Интересно...В двоичной системе первое непокорное число это "22".
И процент сопротивленцев гораздо больше - 22 на первую сотню.
Так какие же свойства чисел связаны с этим?!

Мне кажется, тут не столько свойства самих чисел роль играют, сколько свойства конкретных систем счисления (в данном случае, десятичной).

[scwec]

Где-то видел задачу (сам не пробовал, может, и не решена) - найти пифагоров треугольник у которого длина гипотенузы записывается в десятичной системе теми же цифрами что и у одного из катетов, но в обратном порядке. Если не жалко времени - покрутите.
Насчет палиндромов. Очень давно я как-то выяснил, что трехзначные сопротивленцы палиндромии следующие:
196,295,394,493,592,689,691,788,790,879,887,978,986. Довел до 1040 знаков. Больше тогда компьютер не давал.
Так с тех пор и лежат, выписанные на бумажку. Почему-то было интересно.

[Lesobrod]

scwec в сообщении #590058 писал(а):

Где-то видел задачу (сам не пробовал, может, и не решена) - найти пифагоров треугольник у которого длина гипотенузы записывается в десятичной системе теми же цифрами что и у одного из катетов, но в обратном порядке. Если не жалко времени - покрутите.

Первые три результата:
$65^2 == 56^2+33^2, \\ 5625^2 == 5265^2+1980^2,\\ 6565^2 ==5656^2+3333^2$
Первый явно выделяется своим небольшим числом цифр.

[scwec]

Сразу видна бесконечная серия треугольников с длиной гипотенузы $6565...65$ и длиной катета $5656...56$. Второй катет тогда $3333...33$.
Доказывается очень просто. Если $C=10^{2n+1}6+10^{2n}5+...+10^1{6}+10^{0}5$ и $A=10^{2n+1}5+10^{2n}6+...+10^1{5}+10^{0}6$ то $C-A=\frac{10^{2n+2}-1}{11}$ а $C+A=11\frac{10^{2n+2}-1}{9}$ и $C^2-A^2=(\frac{10^{2n+2}-1}{3})^2$. Хорошо бы, конечно, найти общее решение.
А вот если гипотенузу оставить в покое и потребовать чтобы длины катетов были записаны цифрами в обратном порядке, то тут дела похуже. Среди двузначных чисел таких не находится. Дальше не смотрел.

[Sender]

scwec в сообщении #590058 писал(а):

Очень давно я как-то выяснил, что трехзначные сопротивленцы палиндромии следующие:
196,295,394,493,592,689,691,788,790,879,887,978,986.

Любопытно, их можно разбить на 3 арифметические прогрессии с разностью 99:
1. 196, 295, 394, 493, 592, 691, 790.
2. 689, 788, 887, 986.
3. 879, 978.

790 портит картину, а то последовательности были бы палиндромическими.

[scwec]

Картина не портится, если к этим числам добавит двузначное $97$, но записанное как $097$. $097+99=196$.
Кстати, это в пользу того, что дело тут в системе счисления.

[Ktina]

scwec в сообщении #590058 писал(а):

Где-то видел задачу (сам не пробовал, может, и не решена) - найти пифагоров треугольник у которого длина гипотенузы записывается в десятичной системе теми же цифрами что и у одного из катетов, но в обратном порядке...

(Оффтоп)

Из той же оперы:
Существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение?

[scwec]

Ktina в сообщении #590241 писал(а):

scwec в сообщении #590058 писал(а):

Где-то видел задачу (сам не пробовал, может, и не решена) - найти пифагоров треугольник у которого длина гипотенузы записывается в десятичной системе теми же цифрами что и у одного из катетов, но в обратном порядке...

(Оффтоп)

Из той же оперы:
Существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение?

И эта опера - открытые проблемы. Человечеству неизвестен пока ответ на вопрос Ktina.
Похоже, что и вопрос о существовании пифагорова треугольника с длинами катетов записанных цифрами наоборот по отношению друг к другу оттуда же. Я проверил трех и четырехзначные числа - там таких нет.

[Lesobrod]

scwec в сообщении #590299 писал(а):

Похоже, что и вопрос о существовании пифагорова треугольника с длинами катетов записанных цифрами наоборот по отношению друг к другу оттуда же. Я проверил трех и четырехзначные числа - там таких нет.

Внезапно... (^_^)

$125928^2\ +\ 829521^2\ ==\ 839025^2$

Сейчас еще поставлю покрутиться, может Вам удасться закономерность найти, а то у меня с теорией не очень...

-- Пт июн 29, 2012 20:34:53 --

Вот предыдущий и два последующих.
$88209^2\ +\ 90288^2\ ==\ 126225^2\\ 196020^2\ +\ 020691^2\ ==\ 197109^2\\ 368280^2\ +\ 082863^2\ ==\ 377487^2\\ $
ИМХО полный хаос..
Лучше займусь задачкой Кордемского. Конечно, быть или не быть сопротивленцем, зависит от системы счисления. Но само наличие неподдающихся палиндромизации чисел очень интересно. На данный момент могу сказать, что в двоичной их плотность выше, чем в десятичной. В 12- и 16-ричной они есть.
А в некоторых их нет аж до миллиона.
По ходу, плотность сопротивленцев -
особое характеристическое свойство системы счисления.