Множества. Доказать тождество

[grustn6j]

Пожалуйста, просто подскажите, с какой стороны подходить.
$A\cap B=\oslash\Rightarrow A\cup B=A\triangle B$
Мозг сообразить не может на что опираться.
Заранее спасибо.

[xmaister]

$A\cup B=(A\setminus (A\cap B))\cup (B\setminus (A\cap B))$

[AV_77]

Если $A \cap B = \varnothing$, то $A \setminus B = A$ и $B \setminus A = B$.

[grustn6j]

xmaister в сообщении #588527 писал(а):

$A\cup B=(A\setminus (A\cap B))\cup (B\setminus (A\cap B))$

Это ещё само по себе отдельно доказать надо)

AV_77 в сообщении #588530 писал(а):

Если $A \cap B = \varnothing$, то $A \setminus B = A$ и $B \setminus A = B$.

А это пойдёт за доказательство? Тут, в принципе, мой пример и записан, только через другие операции. Хотя... Если дописать, что $\Rightarrow A\cup B=A\triangle B$ То должно пойти.
А я начинал с того, что если $A \cap B = \varnothing$ и $a\in A$ и $b \in B$, то b не принадлежит A и а не принадлежит В и отсюда пытался вывести что-нибудь дальше. Но получался бред. Спасибо за помощь)

[xmaister]

(Оффтоп)

grustn6j в сообщении #588544 писал(а):

Это ещё само по себе отдельно доказать надо)

Это очевидно.

[grustn6j]

xmaister в сообщении #588545 писал(а):

(Оффтоп)

grustn6j в сообщении #588544 писал(а):

Это ещё само по себе отдельно доказать надо)

Это очевидно.

(Оффтоп)

Дак и сам пример очевиден. Вот только доказать его не получалось...

[xmaister]

grustn6j в сообщении #588550 писал(а):

(Оффтоп)

Дак и сам пример очевиден. Вот только доказать его не получалось...

(Оффтоп)

Очевидно в том смысле, что легко доказывается

[Maslov]

Вам надо доказать два утверждения:
1. $A \cap B = \emptyset \land x \in A \cup B \Rightarrow x \in A \triangle B$
2. $A \cap B = \emptyset \land x \in A \triangle B \Rightarrow x \in A \cup B$

Что на языке теории множеств означает условие $x \in A \triangle B$ ?

[grustn6j]

Maslov в сообщении #588555 писал(а):

Вам надо доказать два утверждения:
1. $A \cap B = \emptyset \land x \in A \cup B \Rightarrow x \in A \triangle B$
2. $A \cap B = \emptyset \land x \in A \triangle B \Rightarrow x \in A \cup B$

Что на языке теории множеств означает условие $x \in A \triangle B$ ?

Это означает, что элемент х принадлежит результату симметрической разности множеств А и В.

[Maslov]

Да не словами, а значками.

Ну типа $x \in A \cap B \Leftrightarrow (x \in A) \land (x \in B)$.

[grustn6j]

Maslov в сообщении #588576 писал(а):

Да не словами, а значками.

Ну типа $x \in A \cap B \Leftrightarrow (x \in A) \land (x \in B)$.

Попытаемся.
$x \in A \triangle B \Leftrightarrow (((x \in A)\wedge (x \notin B))\vee((x \in B)\wedge (x \notin A)))$

[Maslov]

А теперь таким же образом запишите условие $x \in A \cup B \land A \cap B = \emptyset$

[grustn6j]

Как это записать через х не уверен, но вообще:
$x \in A \cup B \land A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow$ любой х $(x \notin \emptyset)$ $(((x \in A)\wedge (x \notin B))\vee((x \in B)\wedge (x \notin A)))$ и $A \cap B = \emptyset $
Кажется, что-то не то...

[Maslov]

Что не то?
Теперь сравните условие $x \in A \cup B$ с условием $x \in A \triangle B$ (при $A \cap B = \emptyset$)

[Asker Tasker]

grustn6j в сообщении #588526 писал(а):

Пожалуйста, просто подскажите, с какой стороны подходить.
$A\cap B=\oslash\Rightarrow A\cup B=A\triangle B$
Мозг сообразить не может на что опираться.
Заранее спасибо.

Если честно, переписку не читал.
Но попробуйте так: пусть выполнено исходное условие: $ A\cap B=\varnothing $. Пустое множество - это, кстати, \varnothing в Tex'е.
Теперь надо доказать равенство $ A\cup B=A\triangle B $
1) Возьмём х, принадлежащий левой части, тогда х - элемент множества А (может ли он при этом принадлежать множеству В?) или х - элемент множества В (может ли он при это принадлежать множеству А?). Какому множеству тогда также принадлежит х?
2) Как соотносятся друг с другом множества $A \triangle B$ и $A \bigcup B$? Какое из них является подмножеством другого (кстати, вне зависимости от условия $ A\cap B=\varnothing $)?