Любое ли метрическое пр-во является нормированным?

[bigarcus]

Любое ли метрическое пространство является нормированным пространством?

В какой книге есть про это?

[Nemiroff]

Не уверен, что вопрос имеет смысл.
Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив метрику $d(x, y)=\|y-x\|$

При этом не каждая метрика порождается хоть какой-нибудь нормой (Французская железнодорожная метрика). Так что естественным образом перевести метрическое пространство в нормированное не получится.
Но это не значит, что нельзя ввести вообще никак не зависящую от метрики норму.

[xmaister]

Например пространство комплексных функций $C^{\infty}(\Omega )$, $\Omega\subset\mathbb{R}^n$- непустое открытое множество. Можно определить метризуемую топологию, порожденную семейством полунорм так, что такое пространство не будет локально ограниченным, а следовательно и не нормируемым.