Сходимость в пространстве бесконечно дифференцируемых функци

[Gorthad]

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, как решить следующую задачу: в пространстве $C^{\infty} [a,b]$ задана классическая (вейерштрассова) сходимость.

Задача: доказать, что эта сходимость не задается одной метрикой.

Как ее решить? Насколько я знаю, эта сходимость задается семейством норм.

[g______d]

Если она задается счетным семейством (полу-)норм $\|\cdot\|_k$, то задается и метрикой $\rho(f,g)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}2^{-k}\frac{\|f-g\|_k}{1+\|f-g\|_k}$

[Gorthad]

g______d в сообщении #588351 писал(а):

Если она задается счетным семейством (полу-)норм $\|\cdot\|_k$, то задается и метрикой $\rho(f,g)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}2^{-k}\frac{\|f-g\|_k}{1+\|f-g\|_k}$

Тогда я запутался. Поясните, пожалуйста, что от меня хотят.

[g______d]

Gorthad в сообщении #588356 писал(а):

Поясните, пожалуйста, что от меня хотят.

Не знаю. Как собирался задать тот же вопрос :)

[Gorthad]

g______d в сообщении #588359 писал(а):

Gorthad в сообщении #588356 писал(а):

Поясните, пожалуйста, что от меня хотят.

Не знаю. Как собирался задать тот же вопрос :)

Вот задачи, может быть это поможет.



-- Вс июн 24, 2012 01:11:33 --

Насколько я понимаю, если существует счетное компактное исчерпание ${K_m}$ множества $[a,b]$, значит вейерштрассова сходимость задается счетной системой норм, равномерных на каждом компакте, а значит, и нормой. Значит, либо этого нельзя сделать, либо сходимость имеется в виду не вейерштрассова.

[g______d]

Gorthad в сообщении #588348 писал(а):

Задача: доказать, что эта сходимость не задается одной метрикой.

Так метрикой или нормой?