Гомотетия с центром на окружности

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

В 2010 году я сформулировал такую задачу:

Условие: две окружности, внутренно касающиеся друг друга (точка касания- A); из точки большой окружности B, диаметрально противоположной точке их касания, проведена касательная к меньшей окружности (точка касания- С); прямая BC пересекает большую окружность в точке D, прямая AC - в точке E.

Доказать: дуги DE и BE равны.

Доказательство:

Пусть центр малой окружности- O.
Обозначим угол EAB как a. Тогда $\angle OCA=a$ как угол при основании равнобедренного треугольника OAC. Заметим, что $\angle BCO=90$, т.к. BC-касательная. Следовательно,$ \angle ECB=90-a.$ Однако $\angle AEB=90 $ как опирающийся на диаметр AB. Следовательно, $\angle EBD=a$, откуда следует, что дуги, на которые опираются углы EBD и EAB, равны, ч.т.д.

Сегодня я продолжил рассуждение и доказал, что любая окружность, полученная из меньшей окружности преобразованием гомотетии с коэффициентом 1/2 относительно центра, диаметрально противоположного точке касания данных окружностей (они касаются внутренним образом), имеет центр в центре большой окружности (BE=DE, следовательно, OE перпендикулярен BD и параллелен AD).

Получилось, что коэффициент не зависит от соотношения радиусов. Тогда я сделал предположение, что ни для одной другой точки большой окружности (не являющейся диаметрально противоположной точке касания) ни с каким коэффициентом гомотетии относительно неё как центра нельзя получить окружность с центром в центре большой окружности. А для окружности, которая находится внутри другой, то же самое верно с минимальными изменениями.
Попытка доказательства: провести касательные из выбранной точки A на большой окружности к меньшей окружности AB и AC и рассмотреть все углы BAC (BO будет его биссектрисой только в одном случае). Верное ли это рассуждение?

С уважением, Николай

[Nikolai Moskvitin]

Конечно, рассуждение было ошибочным в первом пункте. Коэффициент этой гомотетии равен$\frac{R}{2R-r}$. Для него можно установить, что он меньше 1/2, и множество точек, переводящее гомотетией некоторую окружность внутри данной в окружность с её центром O, где центр гомотетии-точка на этой окружности, совпадает с кругом радиуса $\frac{R}{2}$ с этим же центром O, исключая множество точек ограничивающей его окружности.