Два взаимопростых числа

[Ktina]

Найти два взаимопростых 2012-значных натуральных числа, $A$ и $B$ таких, что для любых натуральных $m$ и $n$ числа $A^m$ и $B^n$ отличаются по крайней мере на

$$\text{а)}\quad 4\cdot 10^{2011}$$

$$\text{б)}\quad 5\cdot 10^{2011}$$

[Ktina]

Пункт а) решается очень легко:

(Решение пункта а))

Достаточно, к примеру, взять числа $4\cdot 10^{2011}+1\quad \text{и}\quad 8\cdot 10^{2011}+1$. Эти числа (даже при возведении в любую степень с натуральным показателем) дают остаток 1 при делении на $4\cdot 10^{2011}$, следовательно их степени будут либо равны (что невозможно ввиду их взаимной простоты), либо отличны как минимум на $4\cdot 10^{2011}$, что и требовалось.