Уважаемый Скорцонер, большое спасибо!
Ваши результаты позволяют весьма существенно продвинутся в решении (я как раз в душе и надеялся доказать, что иных решений, кроме как линейных, нет). Чтобы воспользоваться ими необходимо, правда, потребовать чуть большей регулярности от

и

. В частности, непрерывную дифференцируемость

и

(используется в (8)), а также то, что

- биекция

на

(используется в (7)). Также при интегрировании потерялась константа (но это несущественно). Единственно, по-мойму, могут возникнуть сложности при доказательстве того, что (9) влечет линейность

.
Хочется также отметить, что исходное уравнение близко к хорошо известному функциональному уравнению, характеризующему арифметическое и экспоненциальное средние среди всех средних по Колмогорову-Нагумо-Де Финетти (см., например, Харди, Литтлвуд, Полиа. Неравенства; или Ацел, Домбр. Функциональные уравнения с несколькими переменными):

для любых

,

,

из

.
Возможно для исходного уравнения можно применить аналогичные методы решения...