Школьный вариант

[Janmursin]

«Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень больше двух на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».
Пьер Ферма, адвокат и математик, г. Тулуза, Франция, начало XVII века.

($A^n+B^n=C^n $), где ($A, B, C$) и ($n>2$)- натуральные числа.

Если ($A=B$) , то доказательство теоремы очень просто:

$2A^n=2B^n=C^n$

Корень любой натуральной степени из двух не может быть целым числом. Натуральное значение ($C$) невозможно.

Если ($A<B<C$) , то:

$n=1$

Существует бесконечное множество целочисленных решений исходного уравнения ($A<B<C$).

$n=2$

Целочисленные решения исходного уравнения существуют, ($a<b<c$) - пифагоровы тройки, их так же много до бесконечности, но в разы меньше, чем в первом случае в любом ограниченном натуральном ряде чисел.
При этом ($c^2$ ) - среднее арифметическое между ($2a^2$ ) и ($2b^2$ ) :

$2a^2+2b^2=2c^2$

$(2a^2+2b^2)/2=c^2$

$2a^2<c^2<2b^2$

Прослеживается явное и крутое падение количества возможных целочисленных решений исходного уравнения с увеличением значения показателя степени.
При ($n=3$) целочисленного решения исходного уравнения уже не существует:

Если исходное уравнение верно, то ($C^3 ) - среднее арифметическое между ($2A^3 ) и ($2B^3 ):

$2A^3+2B^3=2C^3$

$(2A^3+2B^3)/2=C^3$

$2A^3<C^3<2B^3$

Простую формулу из школьного курса алгебры знает каждый:

$(X-Y)(X+Y)=X^2-Y^2$

Произвожу несложные преобразования исходного уравнения:


$A^3/C^3 +B^3/C^3=1$

$(A^3/C^3 -B^3/C^3)(A^3/C^3+B^3/C^3)=A^3/C^3 -B^3/C^3$

$(A^3/C^3)^2-(B^3/C^3)^2=A^3/C^3 -B^3/C^3$

$A^3=B^3$

$2A^3=C^3=2B^3$

Получилось ($2A^3=C^3=2B^3$ ), ($C^3 ) - не является средним арифметическим между ($2A^3 ) и ($2B^3 ).
Почему? «Правильная» формула из школьного учебника, «правильное» исходное уравнение, «правильные» преобразования без ошибок и нарушений правил.
Выбор «слабого звена» из цепи «правильных» невелик - неверное исходное уравнение. Ошибок в преобразованиях нет, формула из учебника или простые правила школьной алгебры не могут быть неверными. Не убеждает? Тогда то же самое, но несколько по – другому, чуть сложнее и с применением дополнительных обозначений:

$n>2$

$(A^n+B^n)/A^n=C^n/A^n =X$

$(A^n+B^n)/B^n=C^n/B^n =Y$

$X+Y=XY$


$(X-Y)(X+Y)=XY(X-Y)$

$(X^2-Y^2)/(XY)=X-Y$

$X/Y-Y/X=X-Y$

$X-X/Y=Y-Y/X$

$X(1-1/Y)=Y(1-1/X)$

$X(Y-1/Y)=Y(X-1/X)$

$(X-1)/X^2 =(Y-1)/Y^2)$



$X=Y$

$A^n=B^n$

$2A^n=C^n=2B^n$

[Shadow]

Не показывайте преподавателю.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам: (дополню, укажу чуть позже)


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 22 июн 2012, 14:18 --

Нет чёткой формулировки (Правила, п. III, 3.1). Вы не можете знать, как выглядело неизвестное доказательство Ферма; потому непонятно, --- то ли Вы его изобретаете-пародируете, то ли своё придумываете.

Janmursin в сообщении #587855 писал(а):

Прошу прощения за нарушение правил, но нет необходимости менять $n$ на 3.

Если своё, то необходимость есть: таково требование Правил форума. В данном случае следует рассмотреть и случай $n=2$, либо включить его в формулировку теоремы (насколько я помню школьный курс математики, число $\sqrt[2\:]2$ тоже иррационально). Комментарии к выкладкам местами не помешали бы.

[Someone]

Janmursin в сообщении #587855 писал(а):

$(A^3/C^3)^2-(B^3/C^3)^2=A^3/C^3 -B^3/C^3$

$A^3=B^3$

Не понял, откуда взялось второе равенство.

[AKM]

И я о том же:

AKM в сообщении #589091 писал(а):

Этот переход не мешало бы расписать подробнее.

Надобавляли ненужной воды в сообщение, а главных "секретов" не раскрыли.

[Sonic86]

(Оффтоп)

да утащить это к ферматикам и фиг с ним

[Janmursin]

Все на виду и достаточно просто, формулу из школьного курса алгебры знает каждый:

$X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$

В «урезанном» виде (как в доказательстве) равенство возможно только при $X=Y$

$X^2-Y^2=(X-Y)$

Сравните:

$(A^3/C^3 )^2-(B^3/C^3)^2=(A^3/C^3 -B^3/C^3)$

$A^3/C^3=B^n/C^3$

$A^3=B^n$

Непонятый Вами вывод следует не из логики преобразований, а из условий равенства полученного в их результате уравнения.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Великая теорема Ферма»
Причина переноса: не туда кликнул в предыдущем переносе.

-- 30 июн 2012, 17:29 --

Janmursin в сообщении #590686 писал(а):

равенства полученного в их результате уравнения

Будете так выражаться --- сразу в Пургаторий поедем. Оттуда нечасто возвращаются.

[Janmursin]

Прошу прощения, торопился. Главное то, что меня поняли.

[Someone]

Janmursin в сообщении #590686 писал(а):

Все на виду и достаточно просто, формулу из школьного курса алгебры знает каждый:

$X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$

В «урезанном» виде (как в доказательстве) равенство возможно только при $X=Y$

$X^2-Y^2=(X-Y)$

Неверно. Квадратное уравнение имеет, вообще говоря, два различных корня. А уравнение третьей степени - три.

[Shadow]

Janmursin, Вы ищете рациональные корни уравнения $x^n+y^n=1$ Ввели искуственное решение $x=y$, умножив обе части уравнения на $x^n-y^n$ и потом утверждаете, что оно единственное!? (т.е, умножили на 0 и все дела)
Нет, не единственное. Другое решение: $x^n+y^n=1$
Уравнение $x^{2n}-y^{2n}=x^n-y^n$ имеет много решений $x \ne y$ Примеры:

При $\displaystyle n=1, \left(\frac 2 3\right)^2-\left(\frac 1 3\right)^2=\frac 2 3 - \frac 1 3$

При $\displaystyle n=2, \left(\frac 4 5\right)^4-\left(\frac 3 5\right)^4=\left(\frac 4 5\right)^2-\left(\frac 3 5\right)^2$

Нужно доказать, что при $n>2$ таких примеров нет.

[Belfegor]

Janmursin в сообщении #590686 писал(а):

Все на виду и достаточно просто, формулу из школьного курса алгебры знает каждый:

$X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$

В «урезанном» виде (как в доказательстве) равенство возможно только при $X=Y$

$X^2-Y^2=(X-Y)$

Сравните:

$(A^3/C^3 )^2-(B^3/C^3)^2=(A^3/C^3 -B^3/C^3)$

$A^3/C^3=B^n/C^3$


$A^3=B^n$

Непонятый Вами вывод следует не из логики преобразований, а из условий равенства полученного в их результате уравнения.

Чудеса какие-то!
Любое нечетное число
$\[ \begin{array}{l} A^n = 2N + 1 = 1(N + N + 1) = (N + 1 - N)(N + 1 + N) = \\ (N + 1)^2 - N^2 =X^2 - Y^2 \\ \end{array} \]$
Т.е при$ X - Y = 1$ получаем бесконечное множество основных пиф. треугольников:

$\begin{array}{l} 5^2 - 4^2 = 3^2 \\ 13^2 - 12^2 = 5^2 \\ 25^2 - 24^2 = 7^2 \\ \end{array} $
И какое же здесь единственное решение $ X = Y $?

[Janmursin]

Я не буду оспаривать ничего. Хочу напомнить всем любопытный факт: Знаменитая пометка на полях книги - единственное упоминание в наследии Великого ученого о теореме. Почему он всю жизнь молчал о своем «чудесном» доказательстве?
«Правильная» формула, «правильное» исходное уравнение, «правильные» преобразования без ошибок и нарушений правил. В результате - «неправильная» формула.
Убеждает любого школьника в правоте автора теоремы. Простое доказательство у Пьера Ферма все же было или могло быть:

$n>2$

$A^n+B^n=C^n$

$(C^n-B^n)/A^n =1$

$(C^n-A^n)/B^n =1$

$(A^n+B^n)/C^n =1$

$((C^n-B^n)/A^n )((C^n-A^n)/B^n )=1$

$ (C^{2n}-C^n B^n-C^n A^n+A^n B^n)/(A^n B^n )=1$

$(C^n (C^n- B^n- A^n )+A^n B^n)/(A^n B^n )=(A^n+B^n)/C^n $

$(C^{2n} (C^n-B^n-A^n )+A^n B^n)/(A^n B^n )=A^n+B^n$

$1=A^n+B^n$

Могут ли быть числа ($A$) и ($B$) натуральными при натуральных значениях ($ n>2$)?

[venco]

Janmursin в сообщении #591336 писал(а):

$(C^n (C^n- B^n- A^n )+A^n B^n)/(A^n B^n )=(A^n+B^n)/C^n $

$(C^{2n} (C^n-B^n-A^n )+A^n B^n)/(A^n B^n )=A^n+B^n$

А куда вы дели $C^n$ у второго слагаемого?

[Janmursin]

Пора в пургаторий.