Замысловатая функция

[Ktina]

Существует ли такая функция $f: \mathbb R\to\mathbb R$, что для любого $x\in\mathbb R$ выполнено

$$f(x+1)f(x)+f(x+1)+1=0?$$

Если да, то может ли она быть непрерывной?

[venco]

Существует (строится тривиально из произвольной фунции заданной на $[0,1)$). Функция имеет период 3.
Непрерывной быть не может - обязательно будет разрыв типа тангенса.

[staric]

Ktina в сообщении #587652 писал(а):

Существует ли такая функция $f: \mathbb R\to\mathbb R$, что для любого $x\in\mathbb R$ выполнено

$$f(x+1)f(x)+f(x+1)+1=0?$$

Если да, то может ли она быть непрерывной?

Ну, разрывных то (с множеством значений в три константы) придумать можно сколько хошь. А вот с непрерывностью никак. $f(x+3)=f(x)$, т.е. $g(x)=f(x+1)-f(x)$ - непрерывная знакопеременная, тогда найдется такое а, что

$$f(a+1)=f(a)=c,$$

$$c^2+c+1=0$$

[venco]

Но есть аналитическая:
$-\frac{1+\sqrt3\tg{\frac{\pi}3 x}}2 = -\frac{\cos{\frac{\pi}3(x-1)}}{\cos{\frac{\pi}3x}}$