Покрыть интервал

[LevLem]

Доказать, что интервал (0,1) можно покрыть системой интервалов так, что каждое рациональное число будет покрыто конечным числом интервалов, а каждое иррациональное - бесконечным числом интервалов.

[Sonic86]

(я не разбираюсь, но я напишу!)

множество интервалов вида $(\alpha - r_n,\alpha+r_n)$, где $\alpha$ пробегает все иррациональные числа, а $r_n$ - счетная последовательность, предел которой равен нулю.
Если решение верно, то вопрос - а можно ли то же самое сделать счетной системой?

[TOTAL]

Очередное рац. число $C,$ лежащее между уже покрытыми $A$ и $B,$ накрываем интервалом $(A, B).$

[hippie]

Искомое покрытие: $\left\{\left(\frac k{n!};\ \frac {k+1}{n!}\right):\ \ n\in\mathbb{N}\ \&\ k\in\{0,\ 1,\ 2,\dots,\ n-1\}\right\}.$

[TOTAL]

hippie в сообщении #587557 писал(а):

Искомое покрытие: $\left\{\left(\frac k{n!};\ \frac {k+1}{n!}\right):\ \ n\in\mathbb{N}\ \&\ k\in\{0,\ 1,\ 2,\dots,\ n-1\}\right\}.$

Чем накрыто $1/\sqrt{2} \; ?$

[Sonic86]

TOTAL в сообщении #587565 писал(а):

Чем накрыто $1/\sqrt{2} \; ?$

Очевидно же: интервалы $(\frac{k}{n!};\frac{k+1}{n!})$, где $k_n=[n!\sqrt{2}]$, $n\in\mathbb{N}$.

[TOTAL]

Sonic86 в сообщении #587584 писал(а):

TOTAL в сообщении #587565 писал(а):

Чем накрыто $1/\sqrt{2} \; ?$

Очевидно же: интервалы $(\frac{k}{n!};\frac{k+1}{n!})$, где $k_n=[n!\sqrt{2}]$, $n\in\mathbb{N}$.

Какое отношение $k_n$ имеет к интервалу $(\frac{k}{n!};\frac{k+1}{n!})$? Почему все рац. покрыты конечным числом интервалов (каких именно?), а все иррациональные - бесконечным?

[hippie]

Обнаружил у себя очепятку.
Правильно: $\left\{\left(\frac k{n!};\ \frac {k+1}{n!}\right):\ \ n\in\mathbb{N}\ \&\ k\in\{0,\ 1,\ 2,\dots,\ n!-1\}\right\}.$

TOTAL в сообщении #587588 писал(а):

Почему все рац. покрыты конечным числом интервалов?

Каждое рациональное число интервала (0; 1) представляется в виде $\frac pq,$ где $p$ и $q$ — натуральные числа. Число $\frac pq,$ может быть покрыть интервалом вида $\left(\frac k{n!};\ \frac {k+1}{n!}\right)$ только при $n<q,$ а таких интервалов конечное число.

TOTAL в сообщении #587588 писал(а):

а все иррациональные - бесконечным?

При каждом фиксированном $n$ система интервалов $\left\{\left(\frac k{n!};\ \frac {k+1}{n!}\right):\ \ k\in\{0,\ 1,\ 2,\dots,\ n!-1\}\right\}$ покрывает все иррациональные числа интервала (0; 1). И, т.к. натуральных чисел бесконечно много, то каждое иррациональное число интервала (0; 1) оказывается покрытым бесконечное число раз.

[Sonic86]

TOTAL в сообщении #587588 писал(а):

Какое отношение $k_n$ имеет к интервалу $(\frac{k}{n!};\frac{k+1}{n!})$?

Хотел вместо $k$ написать $k_n$ и забыл hippie уже все написал.

[Dave]

А моё решение такое. Первый покрывающий интервал - сам $(0,1)$. Потом нумеруем все рациональные числа внутри этого интервала: $r_1, r_2, r_3, \ldots$. На первом шаге выбрасываем из $(0,1)$ точку $r_1$. Интервал разобьётся на два - $(0,r_1)$ и $(r_1,1)$. Это будут второй и третий покрывающий интервалы. На втором шаге выбрасываем дополнительно точку $r_2$. Получатся три интервала, которые нужно добавить в покрытие и т.д., на $n$-м шаге добавляем $n+1$ интервалов, на которые отрезок $(0,1)$ разбивается точками $r_1,r_2,\ldots,r_n$. Ясно, что каждое рациональное число будет покрыто только теми интервалами, которые были добавлены до его выбрасывания, а каждое иррациональное - ровно одним на каждом шаге, которых бесконечное число.