Геометрия и интеграл.

[gris]

Встретилась задача: доказать, что для любой точки внутри равностороннего треугольника сумма расстояний от неё до сторон равна высоте.

Подумалось о возможных обобщениях. Пусть вообще есть плоская выпуклая замкнутая кривая. Для точки внутри области, ограниченной кривой, посчитаем интеграл по кривой от расстояния от точки до точки кривой. Для каких кривых этот интеграл не будет зависеть от положения точки?
Есть ли какой-то смысл в этом рассуждении? Может быть это или что-то подобное обычная теорема?

Ещё вопрос: какая физическая интерпретация задачи с треугольником?

[worm2]

Сразу подумалось про барицентирические координаты. Не исключаю, что их как-то можно унепрерывить, но я пас.