Параметр. Тригонометрия

[Keter]

Решить для всех $a$

$$3\cos x \sin a - \sin x \cos a -4 \cos a = 3 \sqrt{3}$$

Пытался через вспомогательный угол решить, он вроде явно виден, но там корни большие и арксинусы, так что не идет. Может поделить на что-то?

-- 20.06.2012, 02:00 --

$\cos x \sin a - \sin x \cos a - 4 \cos a + 2 \cos x \sin a = 3 \sqrt{3}$

$- \sin (x-a) - 4 \cos a + 2 \cos x \sin a = 3 \sqrt{3}$

-- 20.06.2012, 02:04 --

$2\cos x \sin a = \sin (a-x) + \sin (a+x)$
$\sin (a-x) + \sin (a+x)+\sin (a-x) - 4 \cos a =3 \sqrt{3}$

[gris]

Именно через вспомогательный угол и надо решать.
Там чисто технические сложности.

$\sqrt{9\sin^2 a+\cos^2a}\cdot \sin (x+...)=3\sqrt 3 +4\cos a$

$ \sin (x+...)=\dfrac{3\sqrt 3 +4\cos a}{\sqrt{9\sin^2 a+\cos^2a}}$

Ну и анализируем правую часть. Вроде бы не должно быть особенных затруднений.

[Keter]

gris, наверно, моя лень перешла допустимую для математики границу

$\sqrt{9 \sin^2 a + \cos^2 a} \cdot \sin (x+ \varphi) = 3\sqrt{3}+4 \cos a$

$\varphi = \arcsin \bigg( \dfrac{3 \sin a}{\sqrt{9 \sin^2 a + \cos^2 a}} \bigg)$

$\sin (x+ \varphi)=\dfrac{3\sqrt{3}+4 \cos a}{\sqrt{9 \sin^2 a + \cos^2 a}}$

-- 20.06.2012, 07:33 --

То есть нужно решить неравенства:

$3\sqrt{3}+4 \cos a > \sqrt{9 \sin^2 a + \cos^2 a}$

$3\sqrt{3}+4 \cos a < \sqrt{9 \sin^2 a + \cos^2 a}$

$- \sqrt{9 \sin^2 a + \cos^2 a} < 3\sqrt{3}+4 \cos a < \sqrt{9 \sin^2 a + \cos^2 a}$

так, да?

[Praded]

Есть ограничение на подкоренное выражение и на значение дроби.

[Keter]

Praded, ну тут даже дело не в этом, там значения $a$ корявые вообще, не нравится мне это..

-- 20.06.2012, 07:43 --

Я что-то вообще не могу понять как их решать. Если брать первое неравенство, у меня получилось, что $\cos a \in \bigg( \dfrac{4\sqrt{3}-\sqrt{102}}{18}; \dfrac{4\sqrt{3}+\sqrt{102}}{18} \bigg)$

[Praded]

А кому легко (хотя цифирки не проверял)?

[TOTAL]

$(3\cos x) \sin a - (\sin x +4) \cos a = 3 \sqrt{3}$
Для существования решения необходимо $(3\cos x)^2 + (\sin x +4)^2 \ge 27,$
т.е. необходимо $\sin x = 1/2$

[Keter]

Я решал так:

$$3\cos x \sin a - \sin x \cos a -4 \cos a = 3 \sqrt{3}$$

$$-( \cos a \sin x - 3 \sin a \cos x) = 4 \cos a + 3 \sqrt{3}$$

$$\sqrt{9 \sin^2 a + \cos^2 a} \cdot \sin ( \varphi - x) = 4 \cos a + 3 \sqrt{3}$$

$$\sin ( \varphi - x) = \frac{4 \cos a + 3 \sqrt{3}}{\sqrt{9 \sin^2 a + \cos^2 a}}$$

Для того, чтобы уравнение имело решение необходимо, чтобы $\bigg| \dfrac{4 \cos a + 3 \sqrt{3}}{\sqrt{9 \sin^2 a + \cos^2 a}} \bigg| \leqslant 1 .$ Следовательно, $4 \cos a + 3 \sqrt{3} \leqslant \sqrt{9 \sin^2 a + \cos^2 a} \Rightarrow (2 \cos a + \sqrt{3} )^2 \leqslant 0 .$ Это возможно только в одном случае, когда $2 \cos a + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos a = \dfrac{- \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \pm \dfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} .$

Если $a = \dfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi n$, то имеем:

$$3\cos x \sin \bigg( \dfrac{5 \pi}{6} \bigg) - \sin x \cos \bigg( \dfrac{5 \pi}{6} \bigg) -4 \cos \bigg( \dfrac{5 \pi}{6} \bigg) = 3 \sqrt{3}$$

$$\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \dfrac{3}{2} \cos x + 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$$

$$\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}} \cdot \sin (x+\varphi) = \sqrt3$$

$$\sin (x + \varphi) = 1, \varphi = \arcsin \dfrac{3}{2 \sqrt3} = \dfrac{\pi}{3}$$

$$x =\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3} + 2 \pi k \Rightarrow x =\dfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Аналогично, если $a = - \dfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi n$, то $x = \dfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: если $a = \dfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$, то $x =\dfrac{\pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; если $a = - \dfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi n$, то $x = \dfrac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z}$; при других $a$ решений нет.

[gris]

Пардон. Задержался на переправе.
Я и имел ввиду самое естественное движение в сторону ответа, которое Вы и привели.
То, что решение неравенства свернулось в отдельные точки, везение. Я думал, что там придётся решать квадратичное неравенство, а потом ещё и тригонометрические неравенства, в которых легко запутаться. Но составители пожалели. Кстати, такое "везение" как правило означает и более простое решение, на которое указал TOTAL.