Область значений функции...

[Tanechka]

У меня возник вопрос: где-то (по-моему на Жаутыковской олимпиаде) нужно было доказать, что не существует функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, которая бы удовлетворяла равенству. В ходе доказательства оказалось, что она принимает значения только на отрезке от 0 до 2, и из этого заключили, что такой функции не существует.
Верно ли такое доказательство?

[Munin]

Нет, функция $f\colon X\to\mathbb{R}$ не обязана принимать все значения из $\mathbb{R}.$ Функция, обладающая таким свойством, имеет специальное название: сюръективная функция, или сюръекция, или отображение "на" ("$X$ на $\mathbb{R}$").

[Tanechka]

Munin, ну я так в принципе и думала, просто мало ли я чего забыла в обозначениях... спасибо!

[gris]

А какому равенству то?
Там, наверное, какое-то функциональное уравнение?

[Tanechka]

gris, ну да, ему родимому... но найти не могу. Найду - покажу)

[gris]

Вот, например:
$(f(x)-\sin(y)-1)^2+(f(x)-3)^2=0$

Тут ровно по Вашему сценарию. Уравнение эквивалентно системе. Первое уравнение системы требует области значений быть указанным Вами отрезком, а второе — иметь значение вне этого отрезка.

Вероятно, и олимпиадная задача содержит два подобных противоречивых условия, но, конечно, гораздо более тщательно завуалированных.