уравнение Больцмана

[r0ma]

Здравствуйте!
Что-то раньше не задумывался, а сейчас задумался и пока недодумаю.

$$\frac{df}{dt}=I.$$

Дело не в интеграле столкновений. Функция распределения зависит, соответсвенно, от 7ми переменных: $\mathbf{r},\,\mathbf{\dot{r}},\,t.$ Вопрос в том, что т.к. эти переменные независимы, то производная от одних по другим равна нулю. Т.е. если расписывать полную производную по времени от ф-и распределения, то будет

$$...+\partial_{\mathbf{r}}f\cdot\partial_t\mathbf{r}+...$$

Почему тогда мы не зануляем $\partial_t\mathbf{r},$ ведь время и координата независимы?

Понимаю, что вопрос простой, но в своё время недоглядел...

[Munin]

r0ma в сообщении #586604 писал(а):

Т.е. если расписывать полную производную по времени от ф-и распределения

Почему вы думаете, что диффузионный член так вводится? Это независимое условие: частица, находящаяся в $t_0$ в $(\mathbf{r}_0,\dot{\mathbf{r}}_0),$ движется дальше по координате $\mathbf{r}$ со скоростью $\dot{\mathbf{r}}_0.$ Именно за счёт этого внутреннюю переменную $\dot{\mathbf{r}}$ мы и обозначаем $\dot{\mathbf{r}},$ а не как-нибудь $\mathbf{a}.$

[r0ma]

То есть $\mathbf{r}$ и $\dot{\mathbf{r}}$ получаются не независимыми от t? Получается, что $f=f\left(\mathbf{r}(t),\,\dot{\mathbf{r}}(t),\,t\right)$? Тогда я не понимаю, зачем время выделять как 7ую переменную, когда она выражается через первые шесть. Или я что-то недопонимаю?

[Munin]

Смотрите. Есть 7 переменных, между собой независимых. Они между собой независимы, если $f$ - просто некая функция. Но дальше мы должны этой математической модели как-то объяснить, что речь идёт о функции распределения частиц, и эти частицы как-то движутся. При этом мы и накладываем условие типа диффузионного члена, но накладываем его не на переменные, а на функцию распределения.

Отвлечёмся на время вообще от сил и столкновений. Их нет. Представьте себе просто задачу описать "сначала в этой точке $n$ частиц с такими-то скоростями, а потом они разлетелись в другие точки". И давайте подойдём к этой задаче с промежуточными шагами.

Шаг 1. Пусть у нас одна частица с заданной скоростью. Для неё выполняется $\tfrac{d}{dt}\mathbf{r}=\mathbf{a}$ (здесь я буду обозначать 4-6-ю переменные как $\mathbf{a},$ чтобы вас не отвлекали совпадения обозначений). Можно представить себе её как движение по плоскости $(\mathbf{r},t)$ некоей $\delta$-функции, описывающей "плотность частиц в данной точке". (В сторону: для такого движения выполняется уравнение непрерывности $\tfrac{\partial}{\partial\mathbf{r}}(\rho\mathbf{a})+\tfrac{\partial}{\partial t}\rho=0$ - закон сохранения плотности.)

Шаг 2. Теперь возьмём много частиц, как-то распределённых в пространстве по $\mathbf{r},$ но пусть они по-прежнему движутся с заданной скоростью, причём все - с одинаковой. Что у нас будет происходить с нашей плотностью? Она будет сдвигаться как целое со временем, так что $\rho(\mathbf{r}+\mathbf{a}t,\,t)=\rho(\mathbf{r},0).$ Мы можем оставить это в таком виде, а можем захотеть записать в виде дифференциального уравнения, решение которого даст такое движение. К счастью, тут ничего сложного, такое дифференциальное уравнение - это волновое уравнение первого порядка,

$$\left(\mathbf{a}\dfrac{\partial}{\partial\mathbf{r}}-\dfrac{\partial}{\partial t}\right)\rho=0.$$

Сравните с одномерным волновым уравнением первого порядка:

$$\left(\dfrac{\partial}{\partial x}-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\right)\rho=0.$$

(Закон сохранения плотности всё так же выполняется.)

Шаг 3. Теперь представим себе частицы с разными скоростями, но находящиеся в одной точке (по крайней мере, в нулевой момент времени). Что с ними произойдёт? Они разлетятся в стороны. В нулевой момент времени у нас была некоторая функция распределения по скоростям $f(\mathbf{a}),$ и во все моменты времени, кроме нулевого, у нас будет некоторая $\rho(\mathbf{r},t)=Cf(\mathbf{r}/t)$ (где $C$ - просто нормировка). Можно себе представить эту плотность как сумму $\delta$-функций, выходящих все из одной точки с разными скоростями. Мы должны как-то перенумеровать эти $\delta$-функции, но нам всё равно, как мы это сделаем: мы можем перенумеровать их значениями скорости каждой $\delta$-функции $\mathbf{a},$ или посмотреть, где сейчас эта $\delta$-функция проходит: $\mathbf{r}/t=\mathbf{a}$ - это одно и то же. (Закон сохранения плотности будет использовать эту нумерацию:

$\dfrac{\partial}{\partial\mathbf{r}}\left(\rho\dfrac{\mathbf{r}}{t}\right)+\dfrac{\partial}{\partial t}\rho=0.$)

Шаг 4. Наконец, объединим всё, рассмотрим распределение частиц и по пространственной координате, и по скоростям. Мы можем для этого перейти от шага 2, аналогично переходу 1->3, или перейти от шага 3, аналогично переходу 1->2, - мы "замыкаем квадратик". У нас есть некая функция распределения по скоростям и координатам $f(\mathbf{r},\mathbf{a},t),$ и если мы возьмём её "сечение" при $\mathbf{a}=\mathrm{const},$ то получим задачу шага 2. А если мы возьмём "сечение" при $\mathbf{r}=\mathrm{const}$ ... упс, мы этого сделать не можем. Мы можем взять конкретный $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0$ только в $t=0,$ а дальше мы должны рассматривать $\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+\mathbf{a}t$ при произвольных $\mathbf{a}$ - вот это будет задача шага 3.

Теперь, мы можем записать наше уравнение в окончательном виде, опираясь на шаг 2:

$$\left(\mathbf{a}\dfrac{\partial}{\partial\mathbf{r}}-\dfrac{\partial}{\partial t}\right)f(\mathbf{r},\mathbf{a},t)=0.$$

Заметьте, это то же самое уравнение, только $\mathbf{a}$ у нас стала переменной, а не просто параметром.

Вот как-то так.

[espe]

r0ma в сообщении #586760 писал(а):

Тогда я не понимаю, зачем время выделять как 7ую переменную

Частицы могут находиться во внешнем переменном (зависящим от времени) поле и в этом случае функция распределения будет зависеть от $t$ явно. Если поле стационарно или его вообще нет, то явной зависимости от $t$ не будет.