конформное отображение на круг

[igor520]

эта задача меня мучает уже два дня
область $D=\left\{z:|z-2007|<1,\left|z-2007-\sqrt{2}\right|>1,\operatorname{Im} z >0\right\}$
отобразить конформно на круг $\{w:|w|<1\}$




попытка решения -
для удобства начертить рисунок и обозначить точки $z_1...z_8$
область $D$ выделена розовым цветом
$z_1=2006$
$z_2=2007$
$z_3=2006+\sqrt{2}$
$z_4=2007+\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}$
$z_5=2007+\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$
$z_6=2008$
$z_7=2007+\sqrt{2}$
$z_8=2008+\sqrt{2}$
отображение искать в дробно-линейной форме
можно заметить, что точки $z_6$ и $z_1$ являются симметричными относительно окружности $B$

[ex-math]

Во всех трех угловых точках участки границы области пересекаются под прямым углом. Отправьте дробно-линейно одну из них в бесконечность, а другие, скажем, в ноль и $i$. Выйдет полуполоса, с которой Вы уже должны совладать.

[igor520]

о! отличная идея!

[ex-math]

Поторопился, извините! Полуполосы не получится. Углы не те.

Давайте $z_6$ отправим на бесконечность, а $z_1$ -- в ноль. Тогда образы вещественной оси и большой дуги будут прямыми (перпендикулярными, проходящими через начало координат), а образ малой дуги -- окружностью, причем образ $z_1$, то есть ноль -- ее центр (как симметричная образу $z_1$ точка). Пускай тогда $z_3$ переходит в единицу. Значит прямые -- оси координат, а окружность -- единичная. Должна получиться четверть единичного круга. Дальше стандартно.

[ex-math]

Следует читать "симметричная образу $z_6$ точка", т.е. симметричная бесконечности.

[igor520]

ок, вот что получилось
если принять $z_2$ за начало координат, то используя известную формулу
$\frac{z-z_1}{z-z_2}\frac{z_3-z_2}{z_3-z_1}=\frac{w-w_1}{w-w_2}\frac{w_3-w_2}{w_3-w_1}$
получаем
$w[z]=-\frac{\left(-1+\sqrt{2}\right) (1+z)}{-1+z}$
это отображение на четверть круга в первом квадранте
чтобы получить целый круг, нужно это возвести в четвертую степень (если не ошибаюсь)
т.е.
$u[z]=\left(-\frac{\left(-1+\sqrt{2}\right) (1+z)}{-1+z}\right)^4$

[ex-math]

igor520 в сообщении #586719 писал(а):

чтобы получить целый круг, нужно это возвести в четвертую степень

Не совсем. Так получится круг с разрезом вдоль отрезка $[0,1]$.
Нужно или взять логарифм -- четверть круга перейдет в полуполосу, ее масштабировать и взять косинус, будет полуплоскость, которая отображается дробно-линейно на круг.
Или возвести в квадрат, получив полукруг и использовать функцию Жуковского -- опять придем к полуплоскости.
Результат, наверно, будет одинаковый, просто кому как удобнее рассуждать. Может, и быстрее как-то можно.

[ewert]

Ну есть же шаблон. Сделать инверсию относительно одной из вершин (любой, но выгоднее всего, наверное, относительно $z_1$). Получится четверть плоскости, из которой вырезана четверть круга с центром в вершине. Инверсия относительно этого центра даёт сектор круга, который возведением в квадрат превращается в полукруг. Инверсия относительно одной из вершин полукруга даёт просто четверть плоскости. Снова возводим в квадрат -- получаем полуплоскость, ещё одна инверсия -- вот и круг.

[ex-math]

ewert
Суть та же, только у Вас будет больше промежуточных шагов, так как некоторые инверсии убраны внутрь, скажем, функции Жуковского.

[ewert]

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #586791 писал(а):

убраны внутрь, скажем, функции Жуковского

а я её никогда не мог запомнить, разве что на один день -- к экзамену зазубрить, шаги же все очевидны