Накрытие букета двух окружностей

[FFFF]

Добрый день, разбираю задачу из "Элементарной топологии":
Для того, чтобы построить универсальное накрытие двух окружностей с общей точкой $B=S^1\bigsqcup S^1\slash \{(1,1)\sim (2,-1)\}$ мы разрезали каждую из окружностей в одной точке и получили крест.

Но у точек разреза не оказалось правильно накрытых окрестностей. Тогда мы к концам креста приклеим ещё по кресту, затем ещё и ещё. Получается в итоге что-то типа графа Кэли свободной группы $\mathbb{F}(a,b)$ (это и есть фундаментальная группа $B$)

Утверждается, что такое пространство будет универсальным накрытием для двух окружностей. Почему? В учебнике написано, что это "очевидно". С построением пространства я разобрался.

[apriv]

FFFF в сообщении #586295 писал(а):

Утверждается, что такое пространство будет универсальным накрытием для двух окружностей. Почему? В учебнике написано, что это "очевидно".

А почему не очевидно? У каждой точки базы действительно есть окрестность такая, что ее прообраз состоит из кусков, гомеоморфных ей. Не менее очевидно, что это пространство стягиваемо.

[FFFF]

apriv
Какие тогда у точек $U$, $V$ будут правильно накрытые окрестности? Просто я не понимаю, как бесконечное приклеивание крестов исправляет ситуацию?

p.s. Что значит "стягиваемо"?

-- 18.06.2012, 12:43 --

Ага, вроде понятно:
пусть $P:K \rightarrow B$ - отображение креста на букет, тогда какую бы окрестность точки $U$ мы не взяли, её прообразом будут два множества, имеющих границу, гомеоморфные двум полуоткрытым интервалам на $\mathbb{R}$. После приклеивания бесконечного количества крестов, границы этих прообразов исчезнут, таким образом получится локальный гомеоморфизм. Рассуждения верные?

-- 18.06.2012, 13:32 --

Нет, я не прав. Дальше в учебнике предалагается доказать изоморфизм между $\mathbb{F}(a,b)$ и $\pi_1(B,c)$. Для этого каждой петле с началом в центре мы соспоставляем путь, который соединяет центры склееных крестов. Получается, что при накрытии все кресты "ложаться друг на друга". Тогда действительно, концевые точки крестов "исчезают".