GL_n(R)

[xmaister]

Сказано, что элементы из $\operatorname{GL}_n({\mathbb{R}})$ естественным образом отождествляются с элементами $\mathbb{R}^{n^2}}$ и берут индуцированную топологию. Т.е. $\|a_{ij}\|\mapsto (a_1,a_2,\ldots , a_{n^2})$ и потом берут топологию порожденную непрерывным отображением, так?

[CptPwnage]

Скорее всего просто вводится топология на матрицах с помощью обычной евклидовой нормы в $R^{n^2}$ . $\|a_{ij}\|=\|(a_1,...a_{n^2})\|$ в $R^{n^2}$

[xmaister]

Ааа, кажется понял. Т.к. $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$- конечномерно, то любые две нормы эквивалентны и индуцируют одну и туже топологию. Получается, что дифференцируемая структура $\mathcal{F}$ на $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ будет иметь вид $\{(U,\varphi)|U\in\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})-\text{открыто}\}$, а $\varphi$- то самое естественное отображение? Ещё хотелось узнать, зачем вообще понадобилось на множестве невырожденных матриц вводить дифференцируемую структуру?

[CptPwnage]

Наверное просто для примера, обычно примеры разных простых многообразий показывают на разных группах матриц

[apriv]

xmaister в сообщении #586206 писал(а):

Ааа, кажется понял. Т.к. $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$- конечномерно, то любые две нормы эквивалентны и индуцируют одну и туже топологию.

Что? Какие могут быть нормы на $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$? Что Вы понимаете под нормой в этой ситуации?

-- 18.06.2012, 02:14 --

xmaister в сообщении #586206 писал(а):

Ещё хотелось узнать, зачем вообще понадобилось на множестве невырожденных матриц вводить дифференцируемую структуру?

$\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ оказывается многообразием и, более того, группой Ли. В нее с успехом вкладываются другие группы Ли и изучаются такие представления, например.

[xmaister]

apriv в сообщении #586209 писал(а):

Какие могут быть нормы на $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ ?

Например $\|a_{ij}\|=\sum\limits_{i,j}|a_{ij}|$, разве нет?

[apriv]

xmaister в сообщении #587303 писал(а):

apriv в сообщении #586209 писал(а):

Какие могут быть нормы на $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ ?

Например $\|a_{ij}\|=\sum\limits_{i,j}|a_{ij}|$, разве нет?

Ну и каким же свойствам она удовлетворяет? Какое определение нормы Вы имеете в виду?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

С каким пафосом, оказывается, можно сообщать студенту, что $GL$ не является линейным пространством. Даже я ощутил мощь лектора.

Вы знаете, кто этот мощный старик? Это гигант мысли, отец русской демократии и особа, приближённая к Императору(c)

[alcoholist]

xmaister в сообщении #587303 писал(а):

Например $\|a_{ij}\|=\sum\limits_{i,j}|a_{ij}|$, разве нет?

это -- норма на $Mat_{nn}(\mathbb{R})$ (или на алгебре Ли $\mathfrac{gl}_n\mathbb{R}$, если угодно)...

а на $GL_n(\mathbb{R})$ нет норм -- это не линейной пространство, а его подмножество

конечно, топология на $GL_n(\mathbb{R})$ индуцируется метрикой, порожденной нормой на объемлющем пространстве $Mat_{nn}(\mathbb{R})$

дифференциальная структура -- да, группа Ли все-таки

[xmaister]

alcoholist в сообщении #587379 писал(а):

дифференциальная структура -- да, группа Ли все-таки

Я не в курсе про группы Ли ещё, поэтому пока хотелось бы без них обойтись.
На $Mat_{nn}(\mathbb{R})$ гладкую структуру получаю пополнением атласа $(Mat_{nn}(\mathbb{R}),\varphi)$ до максимального, где $p_{ij+j}\varphi(\|a_{ij}\|)=a_{ij}$, а т.к. $\det :Mat_{nn}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$- непрерывен, то на $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ можно ввести гладкую структуру как на открытом подмножестве множества с гладкой структурой. Правильно?

[alcoholist]

xmaister в сообщении #588116 писал(а):

На $Mat_{nn}(\mathbb{R})$ гладкую структуру получаю

сложные слова, они нужны только в случае $n=2$

xmaister в сообщении #588116 писал(а):

на $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ можно ввести гладкую структуру как на открытом подмножестве множества с гладкой структурой. Правильно?

да, разумеется