Свести двойной интеграл к повторному

[Ztreis]

Здравствуйте.
Помогите с нахождением пределов интегрирования для двойного интеграла, по области D.
Есть двойной интеграл: $\iint_{D}^{}\frac{x}{y^2}dxdy$
Область D ограничена: $y=x;y=9x;y=\frac{1}{x}$

На графике видно, что это две области.
У меня получился следующий (неправильный) повторный интеграл: $\int_{-1}^{1}dx \int_{9x}^{\frac{1}{x}}\frac{x}{y^2}dy$

Преподаватель сказал, что надо провести в верхней области прямую $x=\frac{1}{3}$, которая разделит верхнюю область на две части(D1 и D2), составить повторные интегралы к каждой области, решить и перемножить.


Для области D1 у меня получается следующий интеграл: $\int_{0}^{\frac{1}{3}}dx \int_{x}^{9x}\frac{x}{y^2}dy$.
Когда я его решаю, у меня получается какой-то бред, поэтому я считаю, что это тоже не верно.

[ewert]

Ztreis в сообщении #585927 писал(а):

у меня получается какой-то бред,

Покажите этот бред.

Хотя если интегрировать по всей зелёненькой области, то интегрировать и вовсе ни к чему -- полный интеграл равен нулю в силу симметрии.

[Ztreis]

Я прорешала его еще несколько раз и в результате нашла ошибку. Сейчас это более похоже на правду.
$\int_{0}^{1/3}(-\frac{x}{y})|_{x}^{9x}dx=\int_{0}^{1/3}(\frac{-x}{9x}+\frac{x}{x})=\int_{0}^{1/3}(\frac{-1}{9}+1)dx =\frac{8x}{9}|_{0}^{1/3}= \frac{8}{27}$

При решении двойного интеграла для области D2, у меня получается похожий ответ
$\int_{1/3}^{1}dx\int_{x}^{1/x}\frac{x}{y^2}dy=\int_{1/3}^{1}(-\frac{x}{y})|_{x}^{1/x}dx=\int_{1/3}^{1}(x(-x)+1)=(x-\frac{x^3}{3})|_{1/3}^{1}=\frac{10}{27}$

Но при перемножении получается $\frac{80}{729}$, что вызывает у меня сомнения насчет правильности решения.

[Nacuott]

Во-первых, определитесь по какой области интегрировать.Если по всей области, изображенной на картинке, то будет, как Вам уже сказали, ноль.
Во-вторых, интеграл по области D2 подсчитан неверно (пределы расставлены верно).
В-третьих, зачем перемножать найденные интегралы? Их нужно сложить.