вопрос по ТФКП - доказательство

[tavrik]

пусть $f(z)$ аналитична в точке $z=a$ и у функции $f(z) - f(a)$ есть ноль порядка $n$ в этой точке.
доказать, что существует такой $r>0$, что для любого $0<\varepsilon<r$ есть $\delta>0$ дающий следующее:
если $0<|w-f(a)|<\delta$ то уравнение $f(z)=w$ имеет ровно $n$ простых(и, следовательно, разных) корней в области {$|z-a|<\varepsilon$}

ну допустим раз $f(z)$ аналитична в точке $a$ то существует область $|a-r|<\varepsilon$ в которой $f(z)$ аналитична и имеет там отличную от нуля производную
(начиная с $f^{(n)}(z)$??)
теперь не знаю - это пахнет теоремой Роля из первого анализа? или это был не Роль...
про корни функций и их производных.

задача, я уверен, не очень сложная, но меня запутали все эти переходы от функции к конкретному значению. тут $f(z)$ там $f(a)$...

[ewert]

Это -- обобщённая теорема об обратной функции: существует такая аналитическая функция $g$ с простым корнем в нуле, что многозначная функция $g(\sqrt[n]{w})$ будет обратной к $f$ в окрестности ноля (это если положить $a=f(a)=0$, что непринципиально, но уменьшает путаницу).

Ролль тут, разумеется, не при чём -- это сугубо комплексные штучки. Дело лишь в том, что если нуль исходной функции имеет кратность именно $n$, то в окрестности нуля $f(z)=(h(z))^n$, где $h(z)$ аналитична и имеет уже простой нуль, так что для неё справедлива уже обычная теорема об обратной функции ($h(z)$ выбирается, естественно, неоднозначно, но это неважно).

[tavrik]

хм, забираю слова о сложности задачи....показалось...

offtop
из группы Греция, Чехия, Польша тоже несложно выйти...казалось...