матрицы - произведение самосопряженной и ортогональной

[kot_matroskin]

задание:разложить матрицу в произведение самосопряженой и ортогональной матриц
исходная матрица:

$$\begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ -2 & 2 & -2 \\ 1 & -4 & -2 \end{pmatrix}$$

$s^2=AA^T$,где S - самосопряженная, $A^T$ - транспонированная матрица

$$S^2=\begin{pmatrix} 21 & 6 & 20 \\ 6 & 12 & 10 \\ -12 & -6 & -11 \end{pmatrix}$$

затем нашел квадрат Жордановой формы:

$$J^2=\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$

отсюда

$$J=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

а вот дальше начинается самое интересное:нужно найти матрицу перехода к Жорданову базису - казалось бы - какие проблемы? но у меня они есть - возможно Вы будете смеяться - но мне не до смеха - завтра последний день для сдачи зачета. Собственно говоря проблема вот в чем:
Для начала я у $S^2$ отнял по диагонали 9,нашел общий вид первого вектора:

$$\begin{pmatrix} \frac{-3x_2-10x_3} 6 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$$

вектор взял {4;2;-3}
второй вектор для этого собственного числа должен быть ему ортогонален,то есть я делал вот так:

$$\begin{pmatrix} \frac{-3x_2-10x_3} 6 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} =0$$

получил второй вектор

$$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

когда отнял по диагонали четверку получил вектор ${-2x_2;x_2;2x_2}$
насколько я понимаю он должен быть ортогонален первым двум. но я не могу его подобрать. Подскажите пожалуйста, ну или в ошибку носом ткните - возражать не буду.