Дисперсия и мат. ожидание тригонометрической функции НСВ

[Zaratustra_V]

Здравствуйте,
есть необходимость рассчитать дисперсию и мат. ожидание
$\cos(x)$, где $x$ - непрерывная случайная величина с равномерным законом распределения в области $[0;2\pi]$

По формуле для нахождения мат.ожидания фукции НСВ

$M[\cos(x)]=\int\frac{\cos(x)}{-2\pi}dx$
(интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности не нашел как поставить)

данный интеграл не существует, однако если границы интеграла взять $0$ и $2\pi$ мат. ожидание будет равно нулю, что исходя из здравого смысла похоже на правду.
С дисперсией та же ситуация.
Так вот, наконец то вопрос, правильно ли при поиске мат. ожидания и дисперсии в данном случае интегрировать в пределах $[0;2\pi]$?

P.S. Прошу прощения если задаю глупые вопросы, институт закончил уже давно и многое забыто.

[ИСН]

Правильно интегрировать в тех пределах, в которых изменяется величина x. Их Вы, кажется, знаете.

[Zaratustra_V]

Спасибо

[PAV]

Интеграл-то должен браться по всей числовой оси, а под ним стоит плотность рассматриваемой случайной величины. А эта плотность равна нулю вне отрезка $[0,2\pi]$, и константе - внутри этого отрезка, поэтому после подстановки получается именно такой интеграл с конечными пределами. Вот только непонятно, откуда взялся в знаменателе минус, его там быть разумеется не должно. В итоге получается так:

$$ M[\cos(x)]=\int_{-\infty}^\infty p(x)\cos(x)\,dx = \int_{0}^{2\pi}\frac{\cos(x)}{2\pi}dx $$

[Zaratustra_V]

PAV в сообщении #585913 писал(а):

Интеграл-то должен браться по всей числовой оси, а под ним стоит плотность рассматриваемой случайной величины. А эта плотность равна нулю вне отрезка $[0,2\pi]$, и константе - внутри этого отрезка, поэтому после подстановки получается именно такой интеграл с конечными пределами. Вот только непонятно, откуда взялся в знаменателе минус, его там быть разумеется не должно. В итоге получается так:

$$ M[\cos(x)]=\int_{-\infty}^\infty p(x)\cos(x)\,dx = \int_{0}^{2\pi}\frac{\cos(x)}{2\pi}dx $$

Спасибо за пояснение, минус действительно лишний.