2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Случайные блуждания с поглощением - объясните пжл на пальцах
Сообщение16.06.2012, 22:27 


12/02/12
55
Есть статья в википедии, но там такие формулы, что на них страшно смотреть :)


Есть еще статейка в интернете, после прочтения которой и появился вопрос.

Кратко перескажу статью:

Пьяница стоит на расстоянии одного шага от края пропасти. Он шагает случайным образом либо влево к краю утеса либо вправо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна q, а шаг к краю имеет вероятность 1-q. Каковы шансы пьяницы избежать падения?

Решение:
Обозначим $P_n$ - вероятность упасть в пропасть, будучи на расстоянии n шагов. Из условия следует, что $P_n = (1-q)P_{n-1} + qP_{n+1}$

С другой стороны, $P_{n+1} = P_1P_n$, т.к. верояность из любой точки сдвинуться на шаг влево к пропасти равна вероятности упасть в пропасть из точки 1.

Из $P_{n+1} = P_1P_n$ следует $P_n = P_1^n$
Подставляем в первое уравнение, сокращаем, получаем $P_1 = (1-q) + qP_1^2$, или $qP_1^2  - P_1 + (1-q) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $P_1$ имеет два решения - $P_1 = 1$ и $P_1 = \frac{1}{q} - 1$

Т.к. $0 \leqslant P_1 \leqslant 1$, то при $q < \frac{1}{2}$ решение одно и все хорошо, а вот при $q > \frac{1}{2}$ решений два, какое из них брать - неочевидно.

В статье аргументация следующая: $P_1(q)$ непрерывна по q, $P_1(1) = 0$, поэтому берется решение $P_1 = \frac{1}{q} - 1$.

Но непрерывность они не доказывают, о чем прямым текстом и говорят.

Вопрос: как доказать эту непрерывность? Или, может быть, есть более простой способ решить задачу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания с поглощением - объясните пжл на пальцах
Сообщение17.06.2012, 16:35 


12/02/12
55
И еще, не могли бы вы прокомментировать корректность постановки задачи?

Ведь (классическая) вероятность определяется через отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов.

Однако тут процесс может быть бесконечным, и непонятно, как считать исходы...
У Виленкина разбираются подобные задачи, но там количество шагов конечно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания с поглощением - объясните пжл на пальцах
Сообщение17.06.2012, 17:22 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Тут есть две новости: хорошая и не очень. Хорошая новость заключается в том, что Вы задаете хорошие и правильные вопросы. Однако простых и удовлетворительных ответов на них скорее всего не будет.

Да, данное "элементарное" решение этой задачи немного жульническое. Оно действительно использует непрерывность, однако строгое доказательство этой непрерывности - задача нетривиальная. Во всяком случае, мне неизвестно, как это доказать. Я когда-то давно думал над этим, и за помощью обращался, однако, насколько я помню, в итоге успеха так и не добился. Если не ошибаюсь, я мог доказать эту самую непрерывность для значений вероятности между нулем и единицей, однако в точке 1 так и не вышло.

Так что элементарного и одновременно строгого решения задачи, видимо, нет. Строгое, но нетривиальное есть: эту задачу можно решить с помощью специальной техники работы со случайными процессами, о которой можно прочитать, например, в учебнике Ширяева "Вероятность". Не исключено, что и решение задачи там же можно найти, только там это будет задача о разорении игрока.

Что же касается второго вопроса, то классическое задание вероятности как отношение числа исходов есть простейший и достаточно частный случай. Существует множество вероятностных моделей, которые к нему нельзя свести. И общий случай к нему также не сводится. А тем более в этой задаче, где речь идет о случайных процессах - для них вероятностная модель строится достаточно сложным образом, эти модели на мехмате даже не изучают в курсе теории вероятностей, а проходят на год позже, в курсе случайных процессов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания с поглощением - объясните пжл на пальцах
Сообщение19.06.2012, 16:54 


23/12/07
1757
А разве здесь не из той же оперы, что и "устойчивое/неустойчивое решение". То есть, непрерывность не выводится, а постулируется, исходя из содержательной постановки задачи (например, невозможности на практике гарантировать абсолютную точность значения $q$)?

P.S. Кстати, не потерялось ли случаем нулевое решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания с поглощением - объясните пжл на пальцах
Сообщение19.06.2012, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
_hum_ в сообщении #586911 писал(а):
P.S. Кстати, не потерялось ли случаем нулевое решение?

А единичное? Решение с первого поста вызывает сомнение. По-моему, надо изучить, что делается за конечное число шагов, а затем число шагов устремить к бесконечности.

-- Вт июн 19, 2012 22:20:18 --

Точнее, я хотел сказать, что из рассуждений первого поста отнюдь не следует, что $P_1=1$ не является решением для любых $q$. Тут нужны дополнительные рассмотрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания с поглощением - объясните пжл на пальцах
Сообщение20.06.2012, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
На первом шаге пьяница падает в пропасть с вероятностью $p$. На третьем шаге - с вероятностью $qp^2$ ... Вообщем, надо просуммировать ряд $S=p+qp^2+2q^2p^3+5q^3p^4+9q^4p^5+...$. Сумма этого ряда вычисляется через сумму ряда $T=S(1-pq)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания с поглощением - объясните пжл на пальцах
Сообщение25.08.2018, 22:00 


25/08/18
1
DTF в сообщении #586017 писал(а):
И еще, не могли бы вы прокомментировать корректность постановки задачи?

Ведь (классическая) вероятность определяется через отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов.

Однако тут процесс может быть бесконечным, и непонятно, как считать исходы...
У Виленкина разбираются подобные задачи, но там количество шагов конечно...


Если решать задачу в лоб (методом грудой силы), то это делается довольно легко через производящую функцию чисел Каталана. Тоесть, если вероятность падения на первом шаге равна p, то общая вероятность падения равняется p*((1-sqrt(1-4*p*(1-p)))/(2*p*(1-p)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайные блуждания с поглощением - объясните пжл на пальцах
Сообщение25.08.2018, 22:04 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  Veron92, не стоит отвечать на сообщения шестилетней давности, да и формулы надо оформлять правильно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group