Найти сумму (ф. ряд)

[samuil]

Найти сумму $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(2n+1)x^{2n}}{n!}$

У меня есть лишь такая мысль -- верна ли она? Она кажется безумной, чтобы быть похожей на правду...

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(2n+1)x^{2n}}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(x^{2n+1})'}{n!}=\Big(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^{2n+1}}{n!}\Big)'$

[ewert]

Мысля, естественно, правильная. А вот окончательный ответ -- взят очевидно с потолка.

-- Сб июн 16, 2012 00:35:58 --

А, Вы его уже успели стереть. Это хорошо.

[samuil]

ewert в сообщении #585578 писал(а):

Мысля, естественно, правильная. А вот окончательный ответ -- взят очевидно с потолка.

Окончательный ответ убрал, так как понял, что все-таки в знаменателе стоит $n!$, а не $(2n+1)!$

Этот ряд похож на какой-нибудь из серии Тейлора?

[ewert]

samuil в сообщении #585580 писал(а):

Просто этот ряд похож на какой-нибудь из серии Тейлора?

Жутко похож. Вынесите что-нить за скобки, потом ещё чего-нить подумайте... всё это перед дифференцированием, конечно)

[samuil]

ewert в сообщении #585582 писал(а):

samuil в сообщении #585580 писал(а):

Просто этот ряд похож на какой-нибудь из серии Тейлора?

Жутко похож. Вынесите что-нить за скобки, потом ещё чего-нить подумайте... всё это перед дифференцированием, конечно)

Вы про такой трюк?

$\Big(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^{2n+1}}{n!}\Big)'=\Big(x\cdot \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(x^{2})^n}{n!}\Big)'=\Big(x\cdot e^{x^{2}}\Big)'=e^{x^{2}}(1+2x)$

[ИСН]

Ничего не читал, кроме начала и конца. В начале стоит чётная функция. В конце - нет.

[ewert]

samuil в сообщении #585584 писал(а):

Вы про такой трюк?

А какой же ещё?... Только Вы производную взяли зачем-то неправильно.

[venco]

А по моему, проще скобки раскрыть, и ничего дифферинцировать не надо.

[samuil]

Спасибо, понятно, оказалось все просто.

$\Big(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^{2n+1}}{n!}\Big)'=\Big(x\cdot \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(x^{2})^n}{n!}\Big)'=\Big(x\cdot e^{x^{2}}\Big)'=e^{x^{2}}(1+2x^2)$

[ewert]

(Оффтоп)

venco в сообщении #585588 писал(а):

А по моему, проще скобки раскрыть, и ничего дифферинцировать не надо.

Можно и так, конечно; объём примерно такой же. Однако судя по внешнему виду -- задачка явно была рассчитана именно на дифференцирование.