Задания С.6 и не только.

[DjD USB]

1)Решите в натуральных числах уравнение: $5x+8y=39$
2)Представьте в виде несократимой простой дроби дробь $\frac{12345678\cdots 87654321}{123456789\cdots987654321}$ в числителе 2010 восьмерок,в знаменателе 2009 девяток.
3)Решить в целых числах уравнение $x(x+1)(x+7)(x+8)=y^2$
4)Решить в натураьлных числах уравнение: $3^x+5=2^y$

-- Чт июн 14, 2012 10:14:38 --

Пожалуйста Переместите в раздел Олимпиадные задания.Просто нечайно здесь написал.

[ИСН]

В (2) надо долго и вдумчиво умножать 11111111 на числа, тоже состоящие из сплошных единиц.
В (3) частично раскрыть скобки...

[DjD USB]

ИСН в сообщении #584808 писал(а):

В (3) частично раскрыть скобки...

А по подробней.

[ИСН]

Ну, чему равно $x(x+8)$? А $(x+1)(x+7)$?

[DjD USB]

$x(x+8)=x^2+8x; (x+1)(x+7)=x^2+8x+7$

-- Чт июн 14, 2012 10:38:00 --

ИСН в сообщении #584810 писал(а):

Ну, чему равно $x(x+8)$? А $(x+1)(x+7)$?

А какие ваши действия после замены

[ИСН]

Два числа различаются на (сами знаете сколько). Их произведение - квадрат. Что можно сказать о самих числах?

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[DjD USB]

ИСН в сообщении #584819 писал(а):

Два числа различаются на (сами знаете сколько). Их произведение - квадрат. Что можно сказать о самих числах?

Значит надо решить вот такие уравнения
1)$a^{2k}-7=b^{2m}$
2)$a^{2k+1}-7=b^{2m+1}$ Такие уравнения потому что произведение квадрат а значит степень у множителей должна быть одной четности.
Это моё мнение!

[ewert]

Просто перебор. Если $m(m+7)=y^2$, то или $m=0$, или $m=-7$, или $y$ лежит строго между $m$ и $m+7$. Вот и поприравнивайте $m^2+7m$ к $(m+k)^2$, беря по очереди $k=1,2,\ldots,6$.

[DjD USB]

ewert в сообщении #584839 писал(а):

то или $m=0$, или $m=-7$[/math].

Пусть $m=9;m+7=16;y^2=12^2$

[nnosipov]

По поводу задачи 2). Здесь можно тупо превратить картинку, задающую число, в формулу. Удобно обозначить $a=1234567$ и считать, что в числителе $n$ восьмёрок, а в знаменателе $n-1$ девяток. После того, как будут написаны формулы для числителя и знаменателя, станет понятно, на что можно сократить.

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #584846 писал(а):

По поводу задачи 2). Здесь можно тупо превратить картинку, задающую число, в формулу. Удобно обозначить $a=1234567$ и считать, что в числителе $n$ восьмёрок, а в знаменателе $n-1$ девяток. После того, как будут написаны формулы для числителя и знаменателя, станет понятно, на что можно сократить.

Можете попадробней написать а то я что-то не понимаю.

[ewert]

DjD USB в сообщении #584843 писал(а):

Пусть $m=9;m+7=16;y^2=12^2$

Да, это один разрешённый вариант среди тех шести. Но есть и ещё один.

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #584849 писал(а):

Можете попадробней написать а то я что-то не понимаю.

Вот формула, задающая число из $m$ единиц: $(10^m-1)/9$. Какой формулой можно задать число из $m$ восьмёрок?

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #584858 писал(а):

DjD USB в сообщении #584849 писал(а):

Можете попадробней написать а то я что-то не понимаю.

Вот формула, задающая число из $m$ единиц: $(10^m-1)/9$. Какой формулой можно задать число из $m$ восьмёрок?

$8(10^m-1)$

-- Чт июн 14, 2012 12:39:21 --

ewert в сообщении #584850 писал(а):

DjD USB в сообщении #584843 писал(а):

Пусть $m=9;m+7=16;y^2=12^2$

Да, это один разрешённый вариант среди тех шести. Но есть и ещё один.

Я находил корни с помощью моих уравнений которые я написал в одной из предыдущих сообщений.В общем ответы для х и у которые у меня получились $(-9;12),(-9;-12),(1;12),(1;-12);(-8;0),(-7;0),(-1;0),(0:0)$ В ответе есть еще $(-4;12);(-4;-12)$ Но он что-то не выходит у меня...