Вычислить интеграл

[Аннетка]

1). $\int \frac{{(3+x^{\frac {3} {2}}})^{\frac{1}{ 3}}}{x^3}$

$\frac {m+1}{n}+{p}}=-1$, значит заменяем $1+{\frac {3}{x^\frac {3}{2}}}=t^3 $

Получим:
$x^3=9{(t^3-1)}^2$, $x=({9\{t^3-1\}^2})^{\frac{1}{3}}$
$dx=(18)^{\frac{1}{3}}{t^2}(t^3-1)^{\frac {-2}{3}}dt$

Тогда

$\int (\frac {(2+t^3)^\frac {1}{3}}{{9\{t^3-1\} ^2}}*{(18)^{\frac{1}{3}}{t^2}(t^3-1)^{\frac {-2}{3}}})dt$

После преобразований получается гигантское выражение, которое снова требует замены

$\int \sqrt[3]18t^2(2+t^3)^3(t^3-1)^{-1}$

Есть ли способ попроще?
Либо я допускаю ошибку в преобразованиях?

2) Вычислить несобственный интеграл
$\int^{+inf}_0\frac{[xartctg(x)}{\sqrt{2+x^3}}$
Интеграл расходится, но как это доказать? Вычислить неопределенный интеграл не получается!

$xartctg(x)$ - такая опечатка в задании

Спасибо за ответы.

[lel0lel]

В первом должна помочь замена $t=x^{-3/2}$
А во втором, так как числитель имеет расходимость $x\,dx$, то есть двойка, а знаменатель $x^{3/2}$, то интеграл расходится. Он бы сходился, если бы в числителе был например $x^{0.499}$.
Это наверное не слишком аккуратное рассуждение, но зато удобное.

[ewert]

lel0lel в сообщении #584750 писал(а):

Это наверное не слишком аккуратное рассуждение,

Тут вообще нечего рассуждать, а надо сказать открытым текстом, что $\frac{x\arctg x}{\sqrt{2+x^3}}\sim\frac{\pi}{2\sqrt x}$ при $x\to+\infty.$

Аннетка в сообщении #584746 писал(а):

значит заменяем $1+{\frac {3}{x^\frac {3}{2}}}=t^3 $

Получим:
$x^3=9{(t^3-1)}^2$, $x=({9\{t^3-1\}^2})^{\frac{1}{3}}$

Замена правильная, а вот получим не так. Вообще с технической точки зрения подстановку лучше оформлять не так, а:

$\int\dfrac{(1+3x^{-3/2})^{1/3}}{x^{5/2}}\,dx,$

и если $1+3x^{-3/2}=t^3,$ то $-\frac92x^{-5/2}dx=3t^2dt,$ после чего всё очень просто.

[Аннетка]

Спасибо!