Обозначения матлогики

[Asker Tasker]

В двух разных книжках встретил два немного разных обозначения, которые, по контексту, значить должны одно и то же:
(а) $\exists \ x\in M \ P\left(x \right)$
(б) $\exists \ x\in M : P \left(x \right)$
Насколько я знаю, двоеточие соответствует словам "такой, что". А если мы опускаем его, смысл не меняется? Или это уже какая-то другая запись?
Попалось пару минут назад ещё такое обозначение:
(в) $ \left( \exists \ x\in M \right) \ P\left(x \right)$ - не знаю, как его правильно читать.

Похожий вопрос с квантором всеобщности. Только тут уже я не знаю, какая запись что обозначает:
(1) $\forall x\in M \ P\left(x \right)$
(2) $\forall x\in M : P\left(x \right)$
(3) $\forall x\in M \left( P\left(x \right)\right)$

Особенно смущает третья запись. Не понимаю, зачем там внешние скобки. Мне кажется, первая и третья означают одно и то же, только третья чуть мудрёнее. А вот первые и вторые интуиция называет различные, но какую как понимать? По упомянутой расшифровке двоеточия выходит, что запись $\forall x\in M : P\left(x \right)$ соответствует фразе "для всех иксов, таких, что Р(х)", а запись $\forall x\in M P\left(x \right)$ - фразе "Для любого х Р(х)". Или я не прав? Если не прав, то как правильно?

Заранее спасибо.

[Asker Tasker]

Квантор - это логическая операция. Но имеет ли смысл применять кванторы без предикатов, к которым они приписываются? Хотя бы формально имеет ли право на автономное существование, например, такая запись: $\forall x$ ?

[arseniiv]

2. Такая запись просто не будет [правильно построенной] формулой исчисления предикатов и, следовательно, не может выводиться или не выводиться; и из неё нельзя ничего вывести.

1. Это просто разные способы записи. Конечно, лучше не использовать их вместе в одном тексте. Ещё встречал как разделитель точку.

-- Чт июн 14, 2012 03:41:11 --

Без скобок не обойтись, когда в формуле несколько кванторов, и из её вида не ясно, какие области действия у этих кванторов.

Обычно вообще в начальных определениях формулы строятся так, что вокруг любой неатомарной формулы стоят скобки, показывающие структуру. После учёта ассоциативности $\vee$ и $\wedge$, введения приоритетов и пр. значительная часть скобок становится не нужна, поскольку легко может быть восстановлена.

[Asker Tasker]

То есть наличие разделителя или его отсутствие (точки, двоеточия) на смысл формулы не влияет?

[Профессор Снэйп]

Самое правильное - (в). То же самое с квантором всеобщности.

[Asker Tasker]

Ага. Понял.
Но тут попутно ещё один вопрос возник. Может быть, подскажете)
Как мы определяем свободно или связано вхождение переменной в выражение с кванторами? В пособии, которое я читал, было написано, что вхождение переменной в выражение с квантором называется связанным. А потом было сказано, что если в исходный предикат переменная входила свободно, то и когда перед этим предикатом ставится квантор вхождение остаётся свободным. Для меня эти два утверждения противоречат друг другу. Как разобраться?